Hỏi

Question

Cách nhận biết bất đẳng thức Bunhia và sử dụng nó như thế nào

shadow night ^.^ · Answer 1 · 1/1/2017 6:11:38 AM

** Bất đẳng thức bunhia tổng quát : cho 2 bộ số
(a1 ; a2 ; ... ; an) ; (b1 ; b2 ; .. ;bn) ta có :

[ (a1)² + (a2)² + .. + (an)² ].[ (b1)² + (b2)² + ... + (bn)² ] ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)²

- Dấu " = " xảy ra <=> a1/b1 = a2/b2 = ... = an/bn

** Thông thường thì ta hay gặp bđt bunhia dưới dạng :

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² (*)

bđt này dễ dàng CM bằng cách khai triển,rút gọn và biến đổi thành :

(ad - bc)² ≥ 0

Dấu " = " xảy ra <=> a/c = b/d

--> Để ý,nếu là : (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac - bd)²

thì dấu = " = xảy ra <=> a/c = -b/d

- (*) là dạng cơ bản của bunhia ; rất hay sử dụng ;

- Từ bất đẳng thức tổng quát của bunhia ; ta có thể suy ra

(a1)²/b1 + (a2)²/b2 + ... + (an)²/bn ≥ (a1 + a2 + ... + an)² / (b1 + b2 + ... + bn)

Cái này nhìn vào mới đầu dễ choáng; nhưng nếu viết lại dưới dạng 1 bất đẳng thức đơn giản thì dễ hiểu hơn nhiều :

1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) < chính là 1²/x + 1²/y ≥ (1 + 1)²/(x + y) >

cái này thì quen thuộc rồi phải không ^^

** 1 ví dụ đơn giản về bđt bunhia:

Cho x + 2y = 5 ; tìm min của A = x² + y² :

Áp dụng bunhia cho 2 bộ số : (1 ; 2) và (x ; y) ta có :

(1² + 2²)(x² + y²) ≥ (x + 2y)² <=> 5(x² + y²) ≥ 5 <=> x² + y² ≥ 1

Vậy MinA = 1 <=> x = y/2 ; kết hợp x + 2y = 5 --> x = 1 ; y = 2

- Tùy từng trường hợp và từng bài toán mà vận dụng bunhia cho linh hoạt