Đặt f(t)=t√t(2−t),t∈(0;1)Ta có
P=x√(1−y)(1+y)+y√(1−x)(1+x)=f(x)+f(y)Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=12.
Ta sẽ tìm a,b sao cho f(t)≥at+b∀t∈(0;1)
Muốn vậy thì đk cần là pt f(t)−at−b=0 có nghiệm kép là t0=12
Để tìm a,b có nhiều cách (Hệ số bất định, pt tiếp tuyến, đạo hàm,...). Ở đây ta tìm dc a=2√33,b=−√312
Nên ta hi vọng là t√t(2−t)≥2√33t−√312
Xui xẻo là nó chỉ đúng khi t∈(0;3+√66]. nên ta làm như sau
Lời giải
KMTTQ giả sử x≥y⇒x≥12
Nếu x>3+√66 thì y<3−√66⇒P>x√1−y2>910
Nếu x≤3+√66 thì ta có P=f(x)+f(y)≥(ax+b)+(ay+b)=a+2b=√32
"="⇔x=y=12. Vậy gtnn là √32