Điều kiện để hàm số xác định là $x\neq \frac{1}{2}$. Khi đó $y'=\frac{2x^2-2x-5m+1}{(2x-1)^2}$. Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình $2x^2-2x-5m+1=0$ $(*)$ có hai nghiệm phân biệt, tức là $1-2.(-5m+1)>0$, hay $m>\frac{1}{10}$ $(**)$. Khi đó đường thẳng $d$ qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình $y=x-\frac{3m+1}{2}$. Suy ra $d$ vuông góc với $\triangle$ (vì có tích hai hệ số góc bằng $-1$).
Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của $(*)$. Khi đó $x_{1}+x_{2}=1$, đồng thời tọa độ của hai điểm cực trị lần lượt là $A(x_{1};x_{1}-\frac{3m+1}{2})$ và $B(x_{2};x_{2}-\frac{3m+1}{2})$. Suy ra tọa độ trung điểm của $AB$ là $I(\frac{1}{2};-\frac{3m}{2})$.
Như vậy, điều kiện để $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua $\triangle$ là $I\in \triangle$, điều này tương đương với $\frac{1}{2}-\frac{3m}{2}+1=0$, hay $m=1$. Giá trị này thỏa mãn điều kiện $(**)$.
Vậy $m=1$ là giá trị phải tìm.