Bất đẳng thức

Question

Cho các số thực a,b,c tm $0\leq a,b,c\leq 1$.

Cmr $2(a^3+b^3+c^3)\leq 3+a^2b+b^2c+c^2a$

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Từ gt$:\Rightarrow (1-a^2)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow 1+a^2b\geq a^2+b$

Thiết lập như vậy với 2 cái nữa rồi cộng lại:

$3+a^2b+b^2c+c^2a\geq a^2+b^2+c^2+a+b+c(1)$

Tiếp tục$:a(1+2a)(1-a)\geq0\Leftrightarrow a^2+a\geq 2a^3$

Thiết lập tương tự$:a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(a^3+b^3+c^3)(1)$

từ 1;2 suy ra đpcm

๖ۣۜTQT☾♋☽ · Answer 2 · 6/30/2017 6:26:28 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Do$:a,b,c\in[0;1]\Rightarrow a^3\leq a^2\leq a;b^3\leq b^2\leq b;c^3\leq c^2\leq c$

suy ra$:2(a^3+b^3+c^3)\leq a^2+a+b^2+b+c^2+c$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)-a^2b-b^2c-c^2a\leq a^2+b^2+c^2+a+b+c-(a^2b+b^2c+c^2a)$

Cần $CM:a^2+b^2+c^2+a+b+c-(a^2b+b^2c+c^2a)\leq3$

$\Leftrightarrow (a^2-1)(1-b)+(b^2-1)(1-c)+(c^2-1)(1-a)\leq 0$(bđt này luôn đúng)

$\Rightarrow đpcm$

Trả lời 30-06-17 06:26 PM

๖ۣۜTQT☾♋☽
133 4

404K 483K

๖ۣۜTQT☾♋☽ · Answer 3 · 6/30/2017 8:03:22 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

giả sử c=min{a,b,c}

ta đc$:2c^3\leq b^2c+c^2a\Leftrightarrow 2c^3-b^2c-c^2a\leq 0$

vậy ta cần chứng minh$:2(a^3+b^3)-a^2b\leq3$

nếu$:a\geq b\geq0$ ta có$:2(a^3+b^3)-a^2b=2a^3+b^3+b(b^2-a^2)\leq 2+1+0=3$

nếu$:b\geq a\geq0$ ta có$:2(a^3+b^3)=a^3+2b^3+a^2(a-b)\leq 1+2+0=3$

xong,dấu = xảy ra khi $a=b=c=1 hoặc a=b=1;c=0$,hoán vị các số cho nhau

lịch sử

Sửa 30-06-17 08:03 AM

๖ۣۜTQT☾♋☽
133 4

404K 483K

Trả lời 30-06-17 07:14 AM

๖ۣۜTQT☾♋☽
133 4

404K 483K

score 4 · Answer 4

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Vì $$a^2b(1-b)+b^2c(1-c)+c^2a(1-a) \ge0$$

Nên $$a^2b+b^2c+c^2a +3\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3$$

Mà $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3=(1-a^2)(1-b^2)+(1-b^2)(1-c^2)+(1-c^2)(1-a^2)+2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(a^2+b^2+c^2)$

Suy ra $a^2b+b^2c+c^2a+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)=2\left[a^3+b^3+c^3+a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-b)\right] \ge 2(a^3+b^3+c^3)$

Cách bạn dài quá thoạt đầu nhìn hơi khó hiểu – tranquynhat2002 30-06-17 06:14 AM

score 3 · Answer 5

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Vì $0\leq a,b,c \leq 1$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 1+1+1=3 $

Ta cần cm

2 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \leq 3 + a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a

$\Leftrightarrow a^{2}(a-b)+b^{2}(b-c)+c^{2}(c-a)\leq 0$

Thật vậy

$a^{2}(a-b)+b^{2}(b-c)+c^{2}(c-a)\leq a-b+b-c+c-a=0 \Rightarrow đpcm$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow$a=b=c=1

2(a−b)+b2(b−c)+ca2(a−b)+b2(b−c)+c2(c−a≤0

Hỏi	30-06-17 02:56 AM
Lượt xem	2778
Hoạt động	13-07-17 01:36 AM

Bất đẳng thức

5 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức

5 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan