DÃY SỐ

Question

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $a_{n} = \sin (\frac{n\pi }{3})^{2} + \cos \frac{n\pi }{4}$

b) $b_{n} = \frac{6n-4}{n+2}$

c) $u_{n} = \frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + .... + \frac{1}{(2n-1)*(2n+1)}$

d) $c_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$

score 2 · Answer 1

Câu $a)$ mình ko biết làm
$b)$ Ta có $b_{n}=\frac{6n-4}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}$
Vì $n$ $\epsilon$ $N*$ nên $3 \leq n+2\leq +\infty $
=>$\frac{-16}{3}\leq \frac{-16}{n+2} \leq \frac{-16}{+\infty }=0$
=> $\frac{2}{3}\leq b_{n}\leq6$

Vậy $b_{n}$ bị chặn trên bởi $6$ và bị chặn dưới bởi $\frac{2}{3}$

$c)$ $u_{n}= \frac{1}{2}.(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{(2n-1)(2n+1)})$
=> $u_{n} = \frac{1}{2}.(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
=> $u_{n} = \frac{1}{2}.(1- \frac{1}{2n+1})$
Tương tự câu $b)$ tìm được $0\leq u_{n}\leq\frac{1}{2}$

$d)$ Ta có $1\leq n\leq +\infty $
=> $0 \leq c_{n}= \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$
Vậy dãy $c_{n}$ bị chặn dưới