a. (P) cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm có tung độ là 2, 10, ta thế vào phương trình đường thẳng (d) để tìm x, {2=−2x+610=−2x+6⇔{x=2x=−2ta được 2 điểm mà đồ thị đi qua là (2;2) và (−2;10).
Thế vào phương trình (P) ta có:
Với x=−2,y=10 thì 10=a(−2)2+b(−2)+c suy ra 4a−2b+c=10
Với x=2,y=2 thì 2=a.22+b.2+c suy ra 4a+2b+c=2
Cộng và trừ 2 liên hệ trên ta có
{4a+c=6−4b=8 suy ra {b=−2c=6−4a
Lại có, hàm số đạt min là 2 nên suy ra a>0 và −Δ4a=2.
Suy ra −8a=Δ=b2−4ac=(−2)2−4a(6−4a)=16a2−24a+4 Hay phương trình bậc 2 theo a là
16a2−16a+4=0 có nghiệm kép a=12 thoả. Suy ra c=4
Vậy (P) là y=12x2−2x+4
b. Điểm A(0;1) thuộc (P) nên 1=a.02+b.0+c suy ra c=1.
Vì B(1;0) thuộc (P) nên 0=a.12+b.1+1 dẫn đến quan hệ a=−b−1.
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng y=x−1 nên phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép, tức
ax2+bx+1=x−1 có nghiệm kép hay ax2+(b−1)x+2=0 có nghiệm kép dẫn đến
Δ=(b−1)2−8a=b2−2b+1−8(−b−1)=b2+6b+9=0. Suy ra b=−3.Do đó a=2
Vậy (P) là y=2x2−3x+1.