Toán 8

Question

1.Cmr , với mọi số tự nhiên n lớn hơn hoặc bằng 1

a) $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + . . . . + \frac{1}{{(2 n)}^{2}} < \frac{1}{2}$

b) $\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + . . . . + \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2}} < \frac{1}{4}$

2.Cmr với mọi số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2

$A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2}{3}$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

bài2

k² > k² - 1 = (k-1)(k+1)
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*)

Áp dụng (*), ta có:
1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n²
< 1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)]
= 1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
= 1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2
= 2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 2/3