$\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b-3} - (a+b) \geq \frac{1}{4}.(ab - 3)$ (1)
Chuyển vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{3-a-b} \geq \frac{3(a+b)}{4} \geq \frac{3.(a+b)}{4}+ \frac{1}{4}(a+b+ab-3)$
Nhân 4 vào 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh, ta có:
$\frac{4}{a+b} + \frac{1}{3-a-b} + \frac{3}{3-a-b} \geq 3.(a+b)$
Theo bất đẳng thức Bunhia-Copxki, ta có:
$\frac{4}{a+b} + \frac{1}{3-a-b} \geq \frac{(2+1)^2}{a+b+3-a-b} = 3$
Ta cần chứng minh bất đẳng thức:
$ 3 + \frac{3}{3-a-b} \geq 3.(a+b) $
Tương đương:
$ 1 + \frac{1}{3-a-b} \geq a+b $
Nhân chéo lên, ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$3-a-b+1+(a+b)^2-3.(a+b)\geq 0$
Tương đương:
$ (a+b-2)^2 \geq 0$
Vì đẳng thức trên luôn đúng, ta có điều phải chứng minh hay bất đẳng thức (1) đúng
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$