Giả sử $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{y}$, $c=\frac{1}{z}$ và $P=\frac{y^2z^2}{x\left ( y^2+z^2 \right )}+\frac{z^2x^2}{y\left ( z^2+x^2 \right)} +\frac{x^2y^2}{z\left ( x^2+y^2 \right )}$. Khi đó $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Đồng thời $P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$.Sử dụng điều kiện đã cho để đánh giá số hạng thứ nhất của $P$ và ta được
$\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a^2}{a\left ( b^2+c^2 \right )}=\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2\left ( b^2+c^2 \right )\left ( b^2+c^2 \right )}}\leq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{\left ( 2a^2+b^2+c^2+b^2+c^2 \right )^3}{27}}}$
$\leq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{8\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^3}{27}}}$
$\leq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{8.3^3}{27}}}$
$\leq\frac{a^2}{2}$.
Suy ra $\frac{a}{b^2+c^2}\leq\frac{a^2}{2}$.
Chứng minh tương tự như trên và ta được $\frac{b}{c^2+a^2}\leq\frac{b^2}{2}$, $\frac{c}{a^2+b^2}\leq\frac{c^2}{2}$.
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều và vận dụng điều kiện trên, ta được
$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\leq \frac{3}{2}$,
hay $P\leq \frac{3}{2}$.
Điều kiện để $P=\frac{3}{2}$ là $a=b=c=1$, tương ứng với $x=y=z=1$.