Bất đẳng thức lớp 9

Question

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Cm:

$\Sigma \frac{ab}{3+c^2} \leq \frac{3}{4}$

score 0 · Answer 1

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\Sigma \frac{2ab}{3+c^2} \leq \frac{3}{2}$

Coi $A=\Sigma \frac{2ab}{3+c^2}$

Có: $A \leq \frac{a^2+b^2}{3+c^2} =\Sigma \frac{3-c^2}{3+c^2}=\Sigma \frac{3+c^2-2.c^2}{3+c^2}=1-\frac{2c^2}{3+c^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Svacxo hay BunhiaCopxki dạng phân thức, ta có:

$A \leq \Sigma 1-\frac{2c^2}{3+c^2} \leq 3- 2.\frac{(a+b+c)^2}{12}=\frac{3}{2}$

1 Đáp án