Gọi d là đường trung trực của đoạn AC.Xét phép đối xứng trục (d)S(d):D→D′Ta có: AD=CD′,CD=AD′ và ΔADC=ΔAD′CSuy ra SABCD=SABCD′=SBAD′+SBCD′.⇒SABCD=12AB.AD′.sin^BAD′+12BC.CD′.sin^BCD′≤12(AB.AD′+BC.CD′) =12(AB.CD+BC.AD)Dấu "=" xảy ra khi ta có:sin^BAD′=sin^BCD′=1⇒^BAD′=^BCD′=90∘⇒ABCD′ nội tiếp trong đường tròn đường kính BD′.Suy ra ^ABC+^ADC=180∘Do đó tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính BD′.Suy ra ^BDD′=90∘, tức là BD⊥DD′⇒AC⊥BD do (AC∥DD′)Đảo lại: Nếu ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) với hai đường chéo AC⊥BD, vì ^BDD′=90∘ nên dễ thấy BD′ là một đường kính của (O). Từ đó suy ra ^D′AB=^D′CB=90∘.Nên dấu
"=" xảy ra. Vậy SABCD≤12(AB.CD+BC.AD)Dấu
"=" xảy ra ⇔ABCD nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Gọi
d là đường trung trực của đoạn
AC.Xét phép đối xứng trục
(d)S(d):D→D′Ta có:
AD=CD′,CD=AD′ và
ΔADC=ΔAD′CSuy ra
SABCD=SABCD′=SBAD′+SBCD′.
⇒SABCD=12AB.AD′.sin^BAD′+12BC.CD′.sin^BCD′≤12(AB.AD′+BC.CD′) =12(AB.CD+BC.AD)Dấu "=" xảy ra khi ta có:
sin^BAD′=sin^BCD′=1⇒^BAD′=^BCD′=90∘⇒ABCD′ nội tiếp trong đường tròn đường kính
BD′.Suy ra
^ABC+^ADC=180∘Do đó tứ giác
ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính
BD′.Suy ra
^BDD′=90∘, tức là
BD⊥DD′⇒AC⊥BD do (
AC∥DD′)Đảo lại: Nếu
ABCD nội tiếp trong đường tròn
(O) với hai đường chéo
AC⊥BD, vì
^BDD′=90∘ nên dễ thấy
BD′ là một đường kính của
(O). Từ đó suy ra
^D′AB=^D′CB=90∘.Nên dấu
"=" xảy ra. Vậy
SABCD≤12(AB.CD+BC.AD)Dấu
"=" xảy ra
⇔ABCD nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.