Ta có:$y'=\cos ax - ax \sin ax$$y''=-2a\sin ax-a^2x\cos ax$ $y^{(3)}=-3a^2\cos ax+a^3x\sin ax$ $y^{(4)}=4a^3\sin ax +a^4x\cos ax$ Bằng quy nạp, suy ra:
$y^{(n)}=na^{n-1}\cos\left (ax+\frac{(n-1)\pi}{2} \right )+a^nx\cos\left (ax+\frac{n\pi}{2} \right ),\forall n\in\mathbb{N}^*$ . Các bạn có thể tham khảo chi tiết của phương pháp này tại đây http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113568/dao-ham-cap-cao
Ta có:$y'=\
sin ax\cos
bx
+\cos ax
\sin bx=\sin
((a
+b)x
)$$y''=
(a
+b)\
cos
((a
+b)x
)=(a
+b)\s
in\Big((a
+b)x
+\frac{\pi}{2}\Big)$ $y^{(3)}=-
(a
+b)^2\s
in((a
+b)x
)=(a+
b)^
2\sin
\Big((a
+b)x
+2.\frac{\pi}{2}\Big)$ $y^{(4)}=
-(a
+b)^3\
cos
((a
+b)x
)=(a+
b)^
2\s
in\Big((a
+b)x
+3.\frac{\pi}{2}\Big)$ Bằng quy nạp, suy ra:
$y^{(n)}=
(a
+b)^{n-1}\s
in\
Big((a
+b)x+(n-1)
.\frac{\pi}{2}\
Big),\forall n\in\mathbb{N}^*$ .