Áp dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(b+a)-\sin(b-a)$Ta có $2\sin \dfrac{x}{2}=2\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos x= \sin \dfrac{3x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos 2x= \sin \dfrac{5x}{2}-\sin \dfrac{3x}{2}$$\cdots$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos (n-1)x= \sin \dfrac{(2n-1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-3)x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos nx= \sin \dfrac{(2n+1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-1)x}{2}$ Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(2n+1)x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=2\sin \dfrac{(2n+2)x}{4}\cos \dfrac{2nx}{4}$ $\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$ Từ đây có đpcm.
Áp dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(b+a)-\sin(b-a)$Ta có $2\sin \dfrac{x}{2}=2\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos x= \sin \dfrac{3x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos 2x= \sin \dfrac{5x}{2}-\sin \dfrac{3x}{2}$$\cdots$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos (n-1)x= \sin \dfrac{(2n-1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-3)x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos nx= \sin \dfrac{(2n+1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-1)x}{2}$ Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(2n+1)x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=2\sin \dfrac{(2n+2)x}{4}\cos \dfrac{2nx}{4}$ $2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$ Từ đây có đpcm.
Áp dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(b+a)-\sin(b-a)$Ta có $2\sin \dfrac{x}{2}=2\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos x= \sin \dfrac{3x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos 2x= \sin \dfrac{5x}{2}-\sin \dfrac{3x}{2}$$\cdots$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos (n-1)x= \sin \dfrac{(2n-1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-3)x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\cos nx= \sin \dfrac{(2n+1)x}{2}-\sin \dfrac{(2n-1)x}{2}$ Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(2n+1)x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}$$2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=2\sin \dfrac{(2n+2)x}{4}\cos \dfrac{2nx}{4}$ $\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$ Từ đây có đpcm.