Điều kiện $x \ge 0.$ BPT $\Leftrightarrow 8x^{3} +76x\sqrt{x} +1-58x^{2}-29x \ge 0$BPT trên sẽ tương đươn với BPT sau đây, bạn tự nhân ra và kiểm tra nhé $\Leftrightarrow (2x-4\sqrt x+1)(8\sqrt[]{x^3}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1) \ge 0$Mặt khác áp dụng BĐT Cô-si ta có $8\sqrt[]{x^3}+4\sqrt{x} \ge 2\sqrt[]{8\sqrt[]{x^3}.4\sqrt{x}}=2\sqrt[]{32x^2} =8\sqrt 2 x \ge 11x$$4x^2+1 \ge 2\sqrt[]{4x^2.1}=4x$Suy ra $8\sqrt[]{x^3}+4x^2+4\sqrt{x}+1 \ge 15x$và dễ kiểm tra dấu bằng không xảy ra vì hpt $ \begin{cases}8\sqrt[]{x^3}=4\sqrt{x} \\ 4x^2=1\\8\sqrt 2 x = 11x \end{cases}$ vô nghiệm.Do vậy phải có $2x-4\sqrt x+1 \ge 0 $.Vế trái là PT bậc hai theo $\sqrt x$ nên dễ có $\left[ {\begin{matrix} x \ge \dfrac{1}{2}(3+2\sqrt2)\\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2}(3-2\sqrt2) \end{matrix}} \right.$
Điều kiện $x \ge 0.$ BPT $\Leftrightarrow 8x^{3} +76x\sqrt{x} +1-58x^{2}-29x \ge 0$BPT trên sẽ tương đươn với BPT sau đây, bạn tự nhân ra và kiểm tra nhé $\Leftrightarrow (2x-4\sqrt x+1)(8\sqrt[3]{x^2}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1) \ge 0$Mặt khác áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm ta có $8\sqrt[3]{x^2}+4x^2+4\sqrt{x} \ge 3\sqrt[3]{8\sqrt[3]{x^2}.4x^2.4\sqrt{x}}=3\sqrt[3]{128x^3} \ge 3\sqrt[3]{125x^3}=15x$Suy ra $8\sqrt[3]{x^2}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1 \ge 1 >0$Do vậy phải có $2x-4\sqrt x+1 \ge 0 $.Vế trái là PT bậc hai theo $\sqrt x$ nên dễ có $\left[ {\begin{matrix} x \ge \dfrac{1}{2}(3+2\sqrt2)\\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2}(3-2\sqrt2) \end{matrix}} \right.$
Điều kiện $x \ge 0.$ BPT $\Leftrightarrow 8x^{3} +76x\sqrt{x} +1-58x^{2}-29x \ge 0$BPT trên sẽ tương đươn với BPT sau đây, bạn tự nhân ra và kiểm tra nhé $\Leftrightarrow (2x-4\sqrt x+1)(8\sqrt[]{x^
3}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1) \ge 0$Mặt khác áp dụng BĐT Cô-si ta có $8\sqrt[]{x^
3}+4\sqrt{x} \ge
2\sqrt[]{8\sqrt[]{x^
3}.4\sqrt{x}}=
2\sqrt[]{
32x^2
} =8
\sqrt 2 x \ge 11x$$4x^
2+1 \ge
2\sqrt[]{
4x^
2.1}=
4x$Suy ra $8\sqrt[]{x^
3}+4x^2+4\sqrt{x}+1 \ge 1
5x$và dễ kiểm tra dấu bằng không
xảy ra vì hpt
$
\begin{cases}8\sqrt[]{x^3}=4\sqrt{x} \\ 4x^2=1\\8\sqrt 2 x = 11x \end{cases}$ vô nghiệm.Do vậy phải có $2x-4\sqrt x+1 \ge 0 $.Vế trái là PT bậc hai theo $\sqrt x$ nên dễ có $\left[ {\begin{matrix} x \ge \dfrac{1}{2}(3+2\sqrt2)\\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2}(3-2\sqrt2) \end{matrix}} \right.$