$\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{1}{np+n+1}+\dfrac{1}{pm+p+1}$$=\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{m}{mnp+mn+m}+\dfrac{mn}{pm^2n+mnp+mn}$$=\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{m}{1+mn+m}+\dfrac{mn}{m+1+mn}$ $=1$
$\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{1}{np+n+1}+\dfrac{1}{pm+p+1}$$=\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{m}{mnp+mn+m}+\dfrac{mn}{pm^2n+mnp+mn}$$=\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{m}{1+mn+m}+\dfrac{mn}{m+mnp+mn}$ $=1$
$\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{1}{np+n+1}+\dfrac{1}{pm+p+1}$$=\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{m}{mnp+mn+m}+\dfrac{mn}{pm^2n+mnp+mn}$$=\dfrac{1}{mn+m+1}+\dfrac{m}{1+mn+m}+\dfrac{mn}{m+
1+mn}$ $=1$