b) PT tương giao x4−2(2m+1)x2+4m=4m2+3m−5⟺⏟t=x2t2−2(2m+1)t−(4m2−m−5)=0(1)Ta có Δ′=(2m+1)2+4m2−m−5=8m2+3m−4>0.Như vậy để cắt tại bốn điểm phân biệt thì PT (1) cần có hai nghiệm dương phân biệt.$\Leftrightarrow
\begin{cases}S>0\\ P>0\\\Delta' >0
\end{cases}\Leftrightarrow{2m+1>04m2−m−5<08m2+3m−4>0\Leftrightarrow \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{5}{4}.Vàtacầnthêmđiềukiệnx< 2 \iff t<4.Tínhtrựctiếptheocôngthứcnghiệmt=2m+1 \pm \sqrt{8m^2+3m-4}.Tiếpđếnchỉcầnnghiệmlớnhơnnhỏhơn9,tứclà2m+1 + \sqrt{8m^2+3m-4}<4\Leftrightarrow \sqrt{8m^2+3m-4}<3-2m$$\Leftrightarrow \begin{cases}8m^2+3m-4<4m^2-12m+9 \\ \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{5}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{ \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{1}{8}\left ( \sqrt{433}-15 \right )}.$
b) PT tương giao
x4−2(2m+1)x2+4m=4m2+3m−5⟺⏟t=x2t2−2(2m+1)t−(4m2−m−5)=0(1)Ta có
Δ′=(2m+1)2+4m2−m−5=8m2+3m−4>0.Như vậy để cắt tại bốn điểm phân biệt thì PT (1) cần có hai nghiệm dương phân biệt.
⇔{S>0P>0Δ′>0⇔{2m+1>04m2−m−5<08m2+3m−4>0⇔116(√137−3)<m<54.Và ta cần thêm điều kiện
x<2⟺t<4.Tính trực tiếp theo công thức nghiệm
t=2m+1±√8m2+3m−4.Tiếp đến chỉ cần nghiệm lớn hơn nhỏ hơn $
4,tứclà2m+1 + \sqrt{8m^2+3m-4}<4\Leftrightarrow \sqrt{8m^2+3m-4}<3-2m$$\Leftrightarrow \begin{cases}8m^2+3m-4<4m^2-12m+9 \\ \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{5}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{ \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{1}{8}\left ( \sqrt{433}-15 \right )}.$