Câu 1/ +$\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{DA}=(k-1)\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=(k-1)\overrightarrow{DP}$ Tương tự $\overrightarrow{BC}=(k-1)\overrightarrow{CQ}\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(1-k)\overrightarrow{QC}$ (1) +$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$ Tương tự $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC}$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (2)+ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}$ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$$\Rightarrow 2 \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$ (3)+ $\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BQ}$$=\overrightarrow{PD}+k\overrightarrow{PD}-(\overrightarrow{QC}+k\overrightarrow{QC})$ $=(k+1)\overrightarrow{PD}-(k+1)\overrightarrow{QC}$ (4)$(1)(2)(4)\Rightarrow(4)= \frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{PD}+\frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{CB}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})$ (5)Từ (3)(5) => $2\overrightarrow{PQ}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$$=\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$
Câu 1/
a/+$\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{DA}=(k-1)\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=(k-1)\overrightarrow{DP}$ Tương tự $\overrightarrow{BC}=(k-1)\overrightarrow{CQ}\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(1-k)\overrightarrow{QC}$ (1) +$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$ Tương tự $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC}$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (2)+ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}$ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$$\Rightarrow 2 \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$ (3)+ $\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BQ}$$=\overrightarrow{PD}+k\overrightarrow{PD}-(\overrightarrow{QC}+k\overrightarrow{QC})$ $=(k+1)\overrightarrow{PD}-(k+1)\overrightarrow{QC}$ (4)$(1)(2)(4)\Rightarrow(4)= \frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{PD}+\frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{CB}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})$ (5)Từ (3)(5) => $2\overrightarrow{PQ}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$$=\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$
b/Cho I thuộc BD s/c : $\overrightarrow{IB}=k\overrightarrow{ID}$ Ta có $\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{IB}}=\frac{\overrightarrow{PD}}{\overrightarrow{ID}}\Rightarrow \overrightarrow{PI}}//{\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow {\overrightarrow{AB}//(PQI)}\Rightarrow \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{PQ}$ => $\overrightarrow{PQ}$// mp chứa $\overrightarrow{AB}$