Đặt a = x, b = 2y và c = 3z, khi đó thì BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT:\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2}} + \frac{y^{2}}{x(y^{2}+x^{2}} + \frac{z^{2}}{y(z^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}Xét biểu thức: \Sigma\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2}} = \frac{1}{z} - \Sigma\frac{z}{x^{2}+z^{2}} = 3 - \Sigma\frac{z}{x^{2}+z^{2}} \geq 3 - \Sigma\frac{1}{2x} \geq \frac{3}{2}Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = 1, b = 2, c = 3
Đặt a = x, b = 2y và c = 3z, khi đó t
a có$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ = 3 và BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT:
$\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2}
)}
$ +
$\frac{y^{2}}{x(y^{2}+x^{2}
)}
$ +
$\frac{z^{2}}{y(z^{2}+y^{2}
)}
$ $\geq
$ $\frac{3}{2}
$Ta c
ó:
$\Sigma
$$\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2}
)}
$ =
$\Sigma
$$(\frac{
1}{z}
$ -
$\frac{z}{x^{2}+z^{2}}
)$ $\geq
$ 3 -
$\Sigma
$$\frac{1}{2x}
$ = $\frac{3}{2}
$Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = 1, b = 2, c = 3
. Vậy ta có đpcm