Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$$ \Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm)
Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm) $ \Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$
Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$$ \Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$
(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm)