Quay lại đáp án

Trước hết ta sẽ chứng minh $n^5-n \vdots 30 \quad \forall n \in \mathbb Z.$Thật vậy, $n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$dễ thấy $n(n-1)(n+1) \vdots 6$ và bằng cách xét $n \equiv 0,1,2,3,4\bmod 5$ ta suy ra được $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 6.$Như vậy$a^5-a+b^5-b+c^5-c \vdots 6\quad \forall a,b,c \in \mathbb Z.$Suy ra$a+b+c \vdots 6 \Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 6,$ đpcm.

Trước hết ta sẽ chứng minh $n^5-n \vdots 30 \quad \forall n \in \mathbb Z.$Thật vậy, $n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$dễ thấy $n(n-1)(n+1) \vdots 6$ và bằng cách xét $n \equiv 0,1,2,3,4\bmod 5$ ta suy ra được $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 5.$Như vậy$a^5-a+b^5-b+c^5-c \vdots 30\quad \forall a,b,c \in \mathbb Z.$Suy ra$a+b+c \vdots 30 \Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 30,$ đpcm.