Với $0$ Thật t vậy có:$ sinx+ siny $= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)Chứng minh(*):Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$
Với $0<x,y< \pi $,ta có: :$\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$ Thật t vậy có:$ sinx+ siny $= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$
.Từ
đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)
Dấu
“ =” xảy ra khi x = yÁp
dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)
Bất
đẳng thức trên tương đương với:
$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)
Chứng
minh(*):
Ta
có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)
Áp
dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$
Với $0$ Thật t vậy có:$ sinx+ siny $= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ
đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)Dấu
“ =” xảy ra khi x = yÁp
dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)Bất
đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)Chứng
minh(*):Ta
có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)Áp
dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$