* Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.
* $M \in (\Delta ):x - y + 1 = 0 \Rightarrow M(m;m + 1)$
* Dễ thấy tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn (C’) đường kính
MI.
Gọi K là trung điểm MI, ta có: $K(\frac{{m + 1}}{2};\frac{{m
- 1}}{2})$
$\overrightarrow {IM}
= (m - 1,m + 3) \Rightarrow R' = \frac{{IM}}{2} = \frac{{\sqrt {2{m^2} +
4m + 10} }}{2}$
Suy ra phương trình đường tròn (C’):
${(x - \frac{{m + 1}}{2})^2} + {(y - \frac{{m - 1}}{2})^2} =
\frac{{{m^2} + 2m + 5}}{2}$
$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - (m + 1)x - (m - 1)y - m - 2
= 0$
* Khi đó, AB là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và (C’).
Suy ra phương trình đường thẳng AB: $( - m + 1)x + ( - m -
3)y - m + 2 = 0$
* Ta có:
$d(N,AB) = \frac{{\left| {\frac{1}{2}( - m + 1) + ( - m - 3)
- m + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - m + 1)}^2} + {{( - m - 3)}^2}} }}$
$\Leftrightarrow d(N,AB) = \frac{{\left| { - \frac{{5m}}{2}
- \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} = \frac{1}{2}\frac{{\left|
{5m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }}$
* Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$\left| {5m + 1} \right| = \left| {\frac{7}{2}(m - 1) +
\frac{3}{2}(m + 3)} \right| \le \sqrt {{{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} +
{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}}$
$\Leftrightarrow \frac{{\left| {5m + 1} \right|}}{{\sqrt
{{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} \le \frac{{\sqrt {58} }}{2}$
$\Leftrightarrow d(N,AB) \le \frac{{\sqrt {58} }}{4}$
Vậy $Maxd(N,AB) =
\frac{{\sqrt {58} }}{4} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{\frac{7}{2}}} =
\frac{{m + 3}}{{\frac{3}{2}}} \Leftrightarrow m = - 6 \Leftrightarrow M( - 6; - 5)$
* Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.
* $M \in (\Delta ):x - y + 1 = 0 \Rightarrow M(m;m + 1)$
* Dễ thấy tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn (C’) đường kính
MI.
Gọi K là trung điểm MI, ta có: $K(\frac{{m + 1}}{2};\frac{{m
- 1}}{2})$
$\overrightarrow {IM}
= (m - 1,m + 3) \Rightarrow R' = \frac{{IM}}{2} = \frac{{\sqrt {2{m^2} +
4m + 10} }}{2}$
Suy ra phương trình đường tròn (C’):
${(x - \frac{{m + 1}}{2})^2} + {(y - \frac{{m - 1}}{2})^2} =
\frac{{{m^2} + 2m + 5}}{2}$
$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - (m + 1)x - (m - 1)y - 2m -
2 = 0$
* Khi đó, AB là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và (C’).
Suy ra phương trình đường thẳng AB: $( - m + 1)x + ( - m -
3)y - 2m + 2 = 0$
* Ta có:
$d(N,AB) = \frac{{\left| {\frac{1}{2}( - m + 1) + ( - m - 3)
- 2m + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - m + 1)}^2} + {{( - m - 3)}^2}} }}$
$\Leftrightarrow d(N,AB) = \frac{{\left| { - \frac{{7m}}{2}
- \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} =
\frac{1}{2}\frac{{\left| {7m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m +
3)}^2}} }}$
* Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$\left| {7m + 1} \right| = \left| {5(m - 1) + 2(m + 3)}
\right| \le \sqrt {{5^2} + {2^2}} \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}}$
$\Leftrightarrow \frac{{\left| {7m + 1} \right|}}{{\sqrt
{{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} \le \sqrt {29}$
$\Leftrightarrow d(N,AB) \le \frac{{\sqrt {29} }}{2}$
Vậy $Maxd(N,AB) = \frac{{\sqrt {29} }}{2} \Leftrightarrow
\frac{{m - 1}}{5} = \frac{{m + 3}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 17}}{3}
\Leftrightarrow M(\frac{{ - 17}}{3};\frac{{ - 14}}{3})$
* Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.
* $M \in (\Delta ):x - y + 1 = 0 \Rightarrow M(m;m + 1)$
* Dễ thấy tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn (C’) đường kính
MI.
Gọi K là trung điểm MI, ta có: $K(\frac{{m + 1}}{2};\frac{{m
- 1}}{2})$
$\overrightarrow {IM}
= (m - 1,m + 3) \Rightarrow R' = \frac{{IM}}{2} = \frac{{\sqrt {2{m^2} +
4m + 10} }}{2}$
Suy ra phương trình đường tròn (C’):
${(x - \frac{{m + 1}}{2})^2} + {(y - \frac{{m - 1}}{2})^2} =
\frac{{{m^2} + 2m + 5}}{2}$
$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - (m + 1)x - (m - 1)y - m -
2
= 0$
* Khi đó, AB là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và (C’).
Suy ra phương trình đường thẳng AB: $( - m + 1)x + ( - m -
3)y -
m + 2 = 0$
* Ta có:
$d(N,AB) = \frac{{\left| {\frac{1}{2}( - m + 1) + ( - m - 3)
- m + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - m + 1)}^2} + {{( - m - 3)}^2}} }}$
$\Leftrightarrow d(N,AB) = \frac{{\left| { - \frac{{
5m}}{2}
- \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} =
\frac{1}{2}\frac{{\left|
{
5m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m +
3)}^2}} }}$
* Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$\left| {
5m + 1} \right| = \left| {
\frac{7}{2}(m - 1) +
\frac{3}{2
}(m + 3)}
\right| \le \sqrt {{
{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} +
{{\left( {
\frac{3}{2
}} \right)}^2}} \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}}$
$\Leftrightarrow \frac{{\left| {
5m + 1} \right|}}{{\sqrt
{{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} \le \
frac{{\sqrt {
58} }}{2}$
$\Leftrightarrow d(N,AB) \le \frac{{\sqrt {
58} }}{
4}$
Vậy
$Maxd(N,AB) =
\frac{{\sqrt {
58} }}{
4} \Leftrightarrow
\frac{{m - 1}}{
{\frac{7}{2}}} =
\frac{{m + 3}}{
{\frac{3}{2
}}} \Leftrightarrow m = -
6 \Leftrightarrow M( -
6; -
5)$