$I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} $Nhân lượng liên hợp, ta được:$I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{1 + x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\left( {1 + \frac{{1 - \sqrt {1 + {x^2}} }}{x}} \right)} dx$$ = \frac{1}{2}(\sqrt 8 - \sqrt 3 ) - \frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} dx$Đặt $K = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} dx$Lại nhân lượng liên hợp, ta được:$K = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} + 1}}} dx = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{(\sqrt {1 + {x^2}} + 1)}}.\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx$Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx$$x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 3$$x = \sqrt 8 \Rightarrow t = 4$$\Rightarrow K = \int\limits_3^4 {\frac{{t - 1}}{t}} dt = (t - \ln t) = 1 + \ln \frac{3}{4}$Vậy \[I = \frac{1}{2}(\sqrt 8 - \sqrt 3 ) - \frac{1}{2}(1 + \ln \frac{3}{4})\]
$I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} $Nhân lượng liên hợp, ta được:$I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{1 + x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\left( {1 + \frac{{1 - \sqrt {1 + {x^2}} }}{x}} \right)} dx = \frac{1}{2}(\sqrt 8 - \sqrt 3 ) - \frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} dx$Đặt $K = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} dx$Lại nhân lượng liên hợp, ta được:$K = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} + 1}}} dx = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{(\sqrt {1 + {x^2}} + 1)}}.\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx$Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx$$x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 3$$x = \sqrt 8 \Rightarrow t = 4$$\Rightarrow K = \int\limits_3^4 {\frac{{t - 1}}{t}} dt = (t - \ln t) = 1 + \ln \frac{3}{4}$Vậy \[I = \frac{1}{2}(\sqrt 8 - \sqrt 3 ) - \frac{1}{2}(1 + \ln \frac{3}{4})\]
$I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} $Nhân lượng liên hợp, ta được:$I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{1 + x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\left( {1 + \frac{{1 - \sqrt {1 + {x^2}} }}{x}} \right)} dx
$$ = \frac{1}{2}(\sqrt 8 - \sqrt 3 ) - \frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} dx$Đặt $K = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} dx$Lại nhân lượng liên hợp, ta được:$K = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} + 1}}} dx = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 8 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{(\sqrt {1 + {x^2}} + 1)}}.\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx$Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx$$x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 3$$x = \sqrt 8 \Rightarrow t = 4$$\Rightarrow K = \int\limits_3^4 {\frac{{t - 1}}{t}} dt = (t - \ln t) = 1 + \ln \frac{3}{4}$Vậy \[I = \frac{1}{2}(\sqrt 8 - \sqrt 3 ) - \frac{1}{2}(1 + \ln \frac{3}{4})\]