lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được$x+\sqrt{x^2+1}-(y+\sqrt{y^2+1}) = 2013^y-2013^x$hay $x+\sqrt{x^2+1}+2013^x = y+\sqrt{y^2+1}+2013^y =f(x)=f(y)$Xét hàm số $f(x) =x+\sqrt{x^2+1}+2013^x$Hàm số này đồng biến với mọi x nên để hệ phương trình trên có nghiệm thì phải có nghiệm $x =y$Từ đó ta có phương trình$x+\sqrt{x^2+1}=2013^x$Lại xét hàm số $h(x) = 2013^x-x-\sqrt{x^2+1}$$h'(x) =\ln 2013.2013^x-1-\frac{x}{x^2+1} >0$ với mọi x <0Với $x\geq 0 \to h'(x) >\ln 2013.2013^x -2 >0$ hiển nhiên đúng với $x>0$Từ đó h(x) đồng biến với mọi x, nên nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhấtdễ thấy $h(x) =0$ có nghiệm $x =0$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x = 0; y = 0$Nhớ vote
lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được$x+\sqrt{x^2+1}-(y+\sqrt{y^2+1}) = 2013^x-2013^y$hay $x+\sqrt{x^2+1}+2013^x = y+\sqrt{y^2+1}+2013^y =f(x)=f(y)$Xét hàm số $f(x) =x+\sqrt{x^2+1}+2013^x$Hàm số này đồng biến với mọi x nên để hệ phương trình trên có nghiệm thì phải có nghiệm $x =y$Từ đó ta có phương trình$x+\sqrt{x^2+1}=2013^x$Lại xét hàm số $h(x) = 2013^x-x-\sqrt{x^2+1}$$h'(x) =\ln 2013.2013^x-1-\frac{x}{x^2+1} >0$ với mọi x <0Với $x\geq 0 \to h'(x) >\ln 2013.2013^x -2 >0$ hiển nhiên đúng với $x>0$Từ đó h(x) đồng biến với mọi x, nên nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhấtdễ thấy $h(x) =0$ có nghiệm $x =0$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x = 0; y = 0$Nhớ vote
lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được$x+\sqrt{x^2+1}-(y+\sqrt{y^2+1}) = 2013^
y-2013^
x$hay $x+\sqrt{x^2+1}+2013^x = y+\sqrt{y^2+1}+2013^y =f(x)=f(y)$Xét hàm số $f(x) =x+\sqrt{x^2+1}+2013^x$Hàm số này đồng biến với mọi x nên để hệ phương trình trên có nghiệm thì phải có nghiệm $x =y$Từ đó ta có phương trình$x+\sqrt{x^2+1}=2013^x$Lại xét hàm số $h(x) = 2013^x-x-\sqrt{x^2+1}$$h'(x) =\ln 2013.2013^x-1-\frac{x}{x^2+1} >0$ với mọi x <0Với $x\geq 0 \to h'(x) >\ln 2013.2013^x -2 >0$ hiển nhiên đúng với $x>0$Từ đó h(x) đồng biến với mọi x, nên nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhấtdễ thấy $h(x) =0$ có nghiệm $x =0$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x = 0; y = 0$Nhớ vote