Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.
Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.
Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $
a\geq
b\geq
c$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.