Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và yTH1 x,y,z cùng dấutheo BĐT $ |a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$ $(1)$ với dấu $=$ tại $a,b,c$ cùng dấu thì $=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$ $(*)$Ta lại có Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ $(2)$$ |x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$Từ đó => $ |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$ $(**)$Từ (*) và (**) => đpcmTH2 x,y,-z cùng dấu, theo $(1)$ thì $ |x+y-z|=|x|+|y|+|z|$ $(***)$Áp dụng $(2)$$ |x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$Từ đó suy ra $|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$$(****)$Từ (***) và (****) suy ra đpcmDấu = xảy ra tại $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$
Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và yTH1 x,y,z cùng dấutheo BĐT $ |a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$ $(1)$ với dấu $=$ tại $a,b,c$ cùng dấu thì $=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$ $(*)$Ta lại có Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ $(2)$$ |x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$Từ đó => $ |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$ $(**)$Từ (*) và (**) => đpcmTH2 x,y,-z cùng dấu, theo $(1)$ thì $ |x+y-z|=|x|+|y|+|z|$ $(***)$Áp dụng $(2)$$ |x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$
Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và yTH1 x,y,z cùng dấutheo BĐT $ |a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$ $(1)$ với dấu $=$ tại $a,b,c$ cùng dấu thì $=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$ $(*)$Ta lại có Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ $(2)$$ |x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$Từ đó => $ |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$ $(**)$Từ (*) và (**) => đpcmTH2 x,y,-z cùng dấu, theo $(1)$ thì $ |x+y-z|=|x|+|y|+|z|$ $(***)$Áp dụng $(2)$$ |x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$
$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$Từ đó suy ra $|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$$(****)$Từ (***) và (****) suy ra đpcmDấu = xảy ra tại $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$