Quay lại đáp án

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ thật vậy $VT+3=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1=(x+y+z)(\frac1{x+y}+\frac1{y+z}+\frac1{z+x})$Nếu đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c$ thì có $VT+3=\frac{a+b+c}2(\frac1a+\frac1b+\frac1c)\geq \frac32\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac1{abc}}=\frac92hay VT\ge\frac32$Cách khác, BĐT này có thể bằng CM theo BĐT BCS dạng Engel$VT=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}$Áp dụng BĐT quen thuộc sau $(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$thì ta đã CM đc BĐT NesbitTa lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} \sqrt{2}{x(y+z)} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ thật vậy $VT+3=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1=(x+y+z)(\frac1{x+y}+\frac1{y+z}+\frac1{z+x})$Nếu đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c$ thì có $VT+3=\frac{a+b+c}2(\frac1a+\frac1b+\frac1c)\geq \frac32\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac1{abc}}=\frac92hay VT\ge\frac32$Cách khác, BĐT này có thể bằng CM theo BĐT BCS dạng Engel$VT=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}$Áp dụng BĐT quen thuộc sau $(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$thì ta đã CM đc BĐT NesbitTa lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} 2\sqrt{x(y+z)} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ Ta lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} 2\sqrt{{x(y+z)}} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ thật vậy $VT+3=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1=(x+y+z)(\frac1{x+y}+\frac1{y+z}+\frac1{z+x})$Nếu đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c$ thì có $VT+3=\frac{a+b+c}2(\frac1a+\frac1b+\frac1c)\geq \frac32\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac1{abc}}=\frac92hay VT\ge\frac32$Cách khác, BĐT này có thể bằng CM theo BĐT BCS dạng Engel$VT=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}$Áp dụng BĐT quen thuộc sau $(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$thì ta đã CM đc BĐT NesbitTa lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} \sqrt{2}{x(y+z)} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ Ta lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} \sqrt{2}{x(y+z)} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ Ta lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} 2\sqrt{{x(y+z)}} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)