Do a,b,c lập thành một cấp số cộng nên c-b=b-aMặt khác: \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}=\dfrac{c-b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\dfrac{b-a}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}Thay kết quả c-b=b-a vào hai hiệu trên suy ra $\dfrac{b-c}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\dfrac{b-a}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}Do đó \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}; \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}; \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ lập thành một cấp số cộng.
Do
a,b,c lập thành một cấp số cộng nên
c-b=b-aMặt khác:
\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}=\dfrac{c-b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\dfrac{b-a}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}Thay kết quả
c-b=b-a vào hai hiệu trên suy ra $\dfrac{c
-b}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\dfrac{b-a}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
Do đó \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}
; \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}
; \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ lập thành một cấp số cộng.