Đặt x\sqrt x=a; y\sqrt y=b;z\sqrt z=c(abc=8)Khi đó VT=\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}Ta có \sqrt{a^3+1} =\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \le \frac{a^2+2}{2}Tương tự \sqrt{b^3+1} \le \frac{b^2+2}{2}Nên $\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} \le \sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}Ta sẽ cm \sum\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} \le \frac 13(*)Thật vậy (*)\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)} \le \frac 13\Leftrightarrow 3\sum a^2b^2+6\sum a^2 \ge a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2 +4\sum a^2+8\Leftrightarrow \sum a^2b^2+2\sum a^2 \ge72 Dễ dàng thấy bđt cuối đúngVậy GTNN của P là \frac 43 đạt đc tại x=y=z=\sqrt[3]{4}$
Đặt
x\sqrt x=a; y\sqrt y=b;z\sqrt z=c(abc=8)Khi đó
VT=\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}Ta có
\sqrt{a^3+1} =\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \le \frac{a^2+2}{2}Tương tự
\sqrt{b^3+1} \le \frac{b^2+2}{2}Nên $\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} \
ge \sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}
Ta sẽ cm \sum\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} \
ge \frac 13
(*)Thật vậy (*)\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)} \
ge \frac 13
\Leftrightarrow 3\sum a^2b^2+6\sum a^2 \ge a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2 +4\sum a^2+8\Leftrightarrow \sum a^2b^2+2\sum a^2 \ge72
Dễ dàng thấy bđt cuối đúngVậy GTNN của P
là \frac 43
đạt đc tại x=y=z=\sqrt[3]{4}$