Đk $...,y \ge0$Nhận thấy $x=0$ ko thõa nghiệm của hptChia 2 vế $pt(1)$ cho $x \ne0$ $\Rightarrow \sqrt{5\left( \frac yx \right)^2-6\left( \frac yx \right)+2}+\sqrt{13\left( \frac yx \right)^2+2\left( \frac yx \right)+2}=2\left[ \left( \frac yx \right) +1 \right]$$\Leftrightarrow \sqrt{5a^2-6a+2}+\sqrt{13a^2+2a+2}=2(a+1)$ ($a=\frac yx$)$\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a=\frac 12 \Leftrightarrow x=2y$Thế vào $pt(2)$:$\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y$$\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3$$\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)$$\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0$Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn $>0 \forall y \ge0$$\Rightarrow y=1$$\Rightarrow \color{red}{\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}$____________________________________________P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra $VT \ge VP$ (có dấu bẳng xảy ra khi $x=2y$)
Đk $...,y \ge0$Nhận thấy $
y=0$ ko thõa nghiệm của hptChia 2 vế $pt(1)$ cho $
y >0$ $\Rightarrow \sqrt{
2\left( \frac x
y \right)^2-6\left( \frac x
y \right)+
5}+\sqrt{
2\left( \frac x
y \right)^2+2\left( \frac
xy \right)+
13}=2\left[ \left( \frac x
y \right) +1 \right]$$\Leftrightarrow \sqrt{
2a^2-6a+
5}+\sqrt{
2a^2+2a+
13}=2(a+1)$ ($a=\frac x
y$)$\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a= 2 \Leftrightarrow x=2y$Thế vào $pt(2)$:$\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y$$\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3$$\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)$$\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0$Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn $>0 \forall y \ge0$$\Rightarrow y=1$$\Rightarrow \color{red}{\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}$____________________________________________P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra $VT \ge VP$ (có dấu bẳng xảy ra khi $x=2y$)