Từ đk suy ra: $ab+bc+ca>0$BĐT cần c/m là BĐT đ/x với $a,b$ nên ta g/s: $a\leq b.$Thật vậy:$(1)\Leftrightarrow \sqrt{\frac{ac}{(a+b)(b+c)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+c)(a+b)}}\geq 1$ $(2)$Ta có:$\sqrt{\frac{ac}{(a+b)(b+c)}}=\frac{2ac}{2\sqrt{c(a+b)a(b+c)}}\geq \frac{2ac}{ab+bc+2ca}$Tương tự:..................................Do đó:$VT(2)\geq \frac{2ac+2bc}{ab+bc+2ca}\geq 1$ do $bc+2ca\geq ca+2bc$ và $bc\geq ab.$$\rightarrow (1)$ được c/m.Đẳng thức khi $a=c;b=0$
T
heo Cau
chy:$a+
(b+c
)\g
eq 2\sq
rt
{a(
b+c)
}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a
}{b+c}
}\geq \frac{
2a}{a+b+c}
$Tương tự:$\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq
\frac{2b}{a+b+c}$$
\righta
rrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}
+\sqrt{\frac{
b}{c+a}}\geq \frac{2
(a
+b)}{a+b+c}$Do đó:$
P\geq \frac{2
(a+b
)}{a
+b+c
}+
\frac{c}{2
(a+b)}=[\frac
{2(a
+b)}
{a+b
+c
}+\
frac
{a+b
+c
}{2(a+b
)}]-\
fra
c{1}{2}$$\rightarrow
P\g
eq 2-\frac
{1}{2}=
\frac
{3}{2}$
.......................................