Từ giải thiết x + y + z = 0 => x + y = -z<=> ( x + y )^3 = (-c)^3<=> x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -c^3<=> x^3 + y^3 + z^3 = -3xy ( x+y) <=> x^3 + y^3 + z^3 = 3xzy (1)Nhận cả 2 vế của (1 ) với x^2 + y^2 + z^2 ta được :3xyz( x^2 + y^2 + z^2 ) Do x + y + z = 0= ( x^2 + y^2 + z^2 ) ( x^3 + y^3 + z^3 )= x^5 + x^3 ( y^2 + z^2) + y^5 + y^3 ( x^2 + z^2 ) + z^5 + z^3 ( x^2 + y^2 ) (2)=> y + z = -x => ( y+z)^2 = x^2 Tương tự ta có :<=> y^2 + z^2 = x^2 - 2yzx^2 + y^2 = z^2 - 2xy ; x^2 + z^2 = y^2 - 2xzThay vào (2) ta được3xyz ( x^2 + y^2 + z^2 ) = x^5 + y^5 + z^5 + x^3 ( x^2 - 2yz ) + y^3 ( y^2 - 2xz ) + z^3 ( z^2 - 2xy )= 2 ( x^5 + y^5 + z^5 ) - 2xyz ( x^2 + y^2 + z^2 )<=> 2( x^5 + y^5 + z^5 ) = 5xyz ( x^2 + y^2 + z^2 ) ( đpcm)
Từ giải thiết x + y + z = 0 => x + y = -z
$<=> ( x + y )^3 = (-c)^3
$$<=> x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -c^3
$$<=> x^3 + y^3 + z^3 = -3xy ( x+y)
$$<=> x^3 + y^3 + z^3 = 3xzy
$ (1)Nhận cả 2 vế của (1 ) với
$x^2 + y^2 + z^2
$ ta được
$3xyz( x^2 + y^2 + z^2 )
$ Do x + y + z = 0=
$ ( x^2 + y^2 + z^2 ) ( x^3 + y^3 + z^3 )
$=
$x^5 + x^3 ( y^2 + z^2) + y^5 + y^3 ( x^2 + z^2 ) + z^5 + z^3 ( x^2 + y^2 )
$ (2)=> y + z = -x =>
$( y+z)^2 = x^2
$ Tương tự ta có :<=>
$y^2 + z^2 = x^2 - 2yz
$$x^2 + y^2 = z^2 - 2xy
$ ;
$x^2 + z^2 = y^2 - 2xz
$Thay vào (2) ta được
$3xyz ( x^2 + y^2 + z^2 ) = x^5 + y^5 + z^5 + x^3 ( x^2 - 2yz ) + y^3 ( y^2 - 2xz ) + z^3 ( z^2 - 2xy )
$=
$2 ( x^5 + y^5 + z^5 ) - 2xyz ( x^2 + y^2 + z^2 )
$<=>
$2( x^5 + y^5 + z^5 )
$=
$5xyz ( x^2 + y^2 + z^2 )
$( đpcm)