Dễ thấy nếu nhóm $(1)$ chứa $(1,2,5)$, nhóm $(2)$ chứa $(3,4)$ thì đề bài sai.
Giả sử tồn tại trường hợp mà không có số nào th
ỏa mãn với y
êu cầu đề bài.Ta có:-Số $5$ chắc chắn
không là hiệu
của $2$ số nào cả. $(1)$-Số $4$ không thể ở nhóm
có $1
$ và $5$ cùng tồn tại. $(2)$
-Số $3$ không thể ở nhóm c
ó $1$ và $4$, $2$ và $5$ cùng tồn tại. $(3)$-Số $2$ kh
ông thể ở nhóm có số $4$, $1$ và $3$, $3$ và $5$ cùng tồn tại. $(
4)$-Số $1
$ không thể ở nhóm có số $2
$,
$3$ và $4$, $4$ và $5$ cùng tồn tại. $(5)$
Không làm mất tính tổng quát,
ta gọi $2$ nhóm
là $I$ và $II$ với $5$ được xếp vào nhóm $I$ (vì $(1)$)-Nếu thêm $1$ vào nhóm $I\Rightarrow $Chỉ có thể thêm tiếp $3$ vào nhóm $I$ . (vì $(2)$
và $(5)$) $\Rightarrow $ Nhóm $II$ buộc
ph
ải có $2,4$ (loại vì $(4)$) -Nếu thêm $2$ vào nhóm $I\Righta
rrow $Không thêm được số nào vào nhóm $I$. (vì $(3
),
(4)$
và $(5)$)$\Right
arrow $ Nh
óm $II$ có $1,3,4$ (loại vì
$(3)$).-Nếu thêm $3$ vào nhóm $I\Rightarrow $Chỉ có thể thêm tiếp $1$ hoặc $4$ vào nhóm $I$. (vì $(3)$) +Nếu thêm $4\Rightarrow $ nhóm $II$ buộc phải có $1,2$ (loại vì $(5)$) +Nếu không thêm $4\Rightarrow $ nhóm $II$ buộc phải có $2,4$ (loại vì $(4)$) -Nếu thêm $4$ vào nhóm $I\Rightarrow $ Chỉ có thể thêm tiếp $3$ (vì $(4)$ và $(2)$)$\Rightarrow $ Nhóm $II$ b
uộc phải có $1,2$ (loại vì $(5)$).-Nếu không thêm số nà
o $\Ri
ghtarrow $ Nhóm $II$ có $1,2,3,4$ (loại vì $(5)$)Vậy không có trường hợp nào thỏa mãn $\Rightarrow $ Giả sử sai
$\Rightarrow $ Ta có ĐPCM.