$1$. Bạn đọc tự giải: $2$. Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + {m^2};\Delta ' = 9 - 3{m^2}\)Hàm số có cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3 \left( 1 \right)\)Giả sử đồ thị có điểm cực đại \(A\left( {{x_{1,}}{y_1}} \right)\) và điểm cực tiểu \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Ta có $A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng \((d) : y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow AB \bot (d)\) và trung điểm $E$ của $AB$ thuộc $(d)$Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là: \(a = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{x_2^3 - x_1^3 - 3\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + {m^2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) \(\Rightarrow a = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} \left( 2 \right)\)Theo định lý Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2}}}{3}\end{array} \right.\)Thay vào $(2)$ ta được: \(a = 4 - \frac{{{m^2}}}{3} - 6 + {m^2} = \frac{{2{m^2} - 6}}{3}\)\(AB \bot (d) \Leftrightarrow a = - 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - 6}}{3} = - 2 \Leftrightarrow m = 0\)Ngược lại với $m = 0$, ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_2} = 2\end{array} \right.\)Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu \(A\left( {0,0} \right);B\left( {2, - 4} \right)\). Trung điểm của $AB$ là $E$ \(\left( {1, - 2} \right) \in \left( d \right)\)Vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy $m = 0$.
$1$. Bạn đọc tự giải:$2$. Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + {m^2};\Delta ' = 9 - 3{m^2}\)Hàm số có cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3 \left( 1 \right)\)Giả sử đồ thị có điểm cực đại \(A\left( {{x_{1,}}{y_1}} \right)\) và điểm cực tiểu \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Ta có $A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\)(d) \(\Leftrightarrow AB \bot (d)\) và trung điểm $E$ của $AB$ thuộc $(d)$Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là: \(a = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{x_2^3 - x_1^3 - 3\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + {m^2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) \(a = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2}\left( 2 \right)\)Theo định lý Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2}}}{3}\end{array} \right.\)Thay vào $(2)$ ta được: \(a = 4 - \frac{{{m^2}}}{3} - 6 + {m^2} = \frac{{2{m^2} - 6}}{3}\)\(AB \bot (d) \Leftrightarrow a = - 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - 6}}{3} = - 2 \Leftrightarrow m = 0\)Ngược lại với $m = 0$, ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_2} = 2\end{array} \right.\)Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu \(A\left( {0,0} \right);B\left( {2, - 4} \right)\).Trung điểm của $AB$ là $E$ \(\left( {1, - 2} \right) \in \left( d \right)\)Vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy $m = 0$.
$1$. Bạn đọc tự giải:
$2$. Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + {m^2};\Delta ' = 9 - 3{m^2}\)Hàm số có cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3
\left( 1 \right)\)Giả sử đồ thị có điểm cực đại \(A\left( {{x_{1,}}{y_1}} \right)\) và điểm cực tiểu \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Ta có $A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng \(
(d) : y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow AB \bot (d)\) và trung điểm $E$ của $AB$ thuộc $(d)$Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là: \(a = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{x_2^3 - x_1^3 - 3\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + {m^2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) \(
\Rightarrow a = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2}
\left( 2 \right)\)Theo định lý Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2}}}{3}\end{array} \right.\)Thay vào $(2)$ ta được: \(a = 4 - \frac{{{m^2}}}{3} - 6 + {m^2} = \frac{{2{m^2} - 6}}{3}\)\(AB \bot (d) \Leftrightarrow a = - 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - 6}}{3} = - 2 \Leftrightarrow m = 0\)Ngược lại với $m = 0$, ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_2} = 2\end{array} \right.\)Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu \(A\left( {0,0} \right);B\left( {2, - 4} \right)\).
Trung điểm của $AB$ là $E$ \(\left( {1, - 2} \right) \in \left( d \right)\)Vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy $m = 0$.