Lưu ý: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left( a+b+c \right)^{2} – 2 \left( ab+bc+ca \right) = 1- 2 \left( ab+bc+ca \right) $$3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \right) \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} $( Dùng $3 \left( A^{2} + B^{2}+ C^{2} \right) \geq \left( A+B+C \right)^{2} $)$\Rightarrow M \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} +3 \left( ab+bc+ca \right) +2 \sqrt{ 1-2 \left( ab+bc+ca \right)} $Đặt $x=ab+bc+ca$Thì $M \geq x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}$Và $3 \left( ab+bc+ca \right) \leq \left( a+b+c \right)^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$Lại đặt $\sqrt{ 1- 2x}=t$ thì do $0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$$\Rightarrow \frac{ 1}{3} \leq 1-2x \leq 1 \Rightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq \sqrt{ 1-2x} \leq 1 $ hay $\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq t \leq 1$Lúc này $x= \frac{ 1- t^{2}}{2}; x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}= \left( \frac{ 1-t^{2}}{2} \right)^{2} +3 \left( \frac{ 1-t^{2}}{2} \right) +2t= \frac{t^{4}-8t^{2}+8t+7 }{4}$Xét hàm $f(t)= \frac{ t^{4}-8t^{2}+8t+7}{4} \Rightarrow f’(t)= t^{3}-4t+2$$f’( \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}})= \frac{ 1}{3 \sqrt{ 3}}- \frac{ 4}{ \sqrt{ 3}}+2= \frac{ 6 \sqrt{ 3}-11}{3 \sqrt{ 3}} <0$$f’(1)=-1<0 : f ,(t)$ liên lục$f’(t)$ Nhận giá trị âm trên toàn đoạn $[\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} ; 1]$$f(t)$ Nghịch biến $t \leq 1$ thì $f(t) \geq f(1)=2$$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ cũng là giá trị nhỏ nhất của M la $2$, đạt được khi $t=1 \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow \begin{cases} ab+bc+c a=0 \\ a+b+c=1 \end{cases} $
Lưu ý : $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left( a+b+c \right)^{2} – 2 \left( ab+bc+ca \right) = 1- 2 \left( ab+bc+ca \right) $$3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \right) \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} $( Dùng $3 \left( A^{2} + B^{2}+ C^{2} \right) \geq \left( A+B+C \right)^{2} $)$\Rightarrow M \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} +3 \left( ab+bc+ca \right) +2 \sqrt{ 1-2 \left( ab+bc+ca \right)} $Đặt $x=ab+bc+ca$Thì $M \geq x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}$Và $3 \left( ab+bc+ca \right) \leq \left( a+b+c \right)^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
Lưu ý: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left( a+b+c \right)^{2} – 2 \left( ab+bc+ca \right) = 1- 2 \left( ab+bc+ca \right) $$3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \right) \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} $( Dùng $3 \left( A^{2} + B^{2}+ C^{2} \right) \geq \left( A+B+C \right)^{2} $)$\Rightarrow M \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} +3 \left( ab+bc+ca \right) +2 \sqrt{ 1-2 \left( ab+bc+ca \right)} $Đặt $x=ab+bc+ca$Thì $M \geq x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}$Và $3 \left( ab+bc+ca \right) \leq \left( a+b+c \right)^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
Lại đặt $\sqrt{ 1- 2x}=t$ thì do $0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$$\Rightarrow \frac{ 1}{3} \leq 1-2x \leq 1 \Rightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq \sqrt{ 1-2x} \leq 1 $ hay $\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq t \leq 1$Lúc này $x= \frac{ 1- t^{2}}{2}; x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}= \left( \frac{ 1-t^{2}}{2} \right)^{2} +3 \left( \frac{ 1-t^{2}}{2} \right) +2t= \frac{t^{4}-8t^{2}+8t+7 }{4}$Xét hàm $f(t)= \frac{ t^{4}-8t^{2}+8t+7}{4} \Rightarrow f’(t)= t^{3}-4t+2$$f’( \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}})= \frac{ 1}{3 \sqrt{ 3}}- \frac{ 4}{ \sqrt{ 3}}+2= \frac{ 6 \sqrt{ 3}-11}{3 \sqrt{ 3}} <0$$f’(1)=-1<0 : f ,(t)$ liên lục$f’(t)$ Nhận giá trị âm trên toàn đoạn $[\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} ; 1]$$f(t)$ Nghịch biến $t \leq 1$ thì $f(t) \geq f(1)=2$$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ cũng là giá trị nhỏ nhất của M la $2$, đạt được khi $t=1 \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow \begin{cases} ab+bc+c a=0 \\ a+b+c=1 \end{cases} $