Câu $6$
Ta có phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với $(P)$ có VTCP là TPT của $(P)$
$\Rightarrow d :\begin{cases} x=2+1t\\y=1+2t\\z=-1-2t\end{cases}\Rightarrow A'(2+t, 1+2t, -1-2t)$
A' là giao điểm của d với $(P)$
$\Rightarrow A'\in (P)$
$\Rightarrow 2+t+2(1+2t)-2(-1-2t)+3=0$
$\Leftrightarrow  2+t+2+4+2+4t+3=0$
$\Leftrightarrow  9+9t=0$
$\Rightarrow t=-1\Rightarrow A'(1,-1,1)$
$\underset{AB}{\rightarrow}=(-1,1,4).\underset{n_{P}=(1,2,-2)}{\rightarrow} $
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa A,B và $\bot (P)$ là :
$\underset{n}{\rightarrow} =[\underset{AB}{\rightarrow} ,\underset{n_{(P)}}{\rightarrow} ]=(-10, 2,-3)$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng cần tìm là :
$-10(x-2)+2(y-1)-3(z+1)=0$
$\Leftrightarrow  -10x+2y-3z+15=0$

Câu $8$
$\begin{cases} x^2+xy+y^2=7 (2)\\ x^2-xy-2y^2=-x+2y (2)\end{cases} $
Từ pt $(2) : x^2-x(y-1)-2y^2-2y=0$
Có : $\Delta x= (y-1)^2+8y^2+8y$
$\Delta x=9y^2+6y+1=(3y+1)^2$
$\Rightarrow x=\frac{y-1-(3y+1)}{2} =-y-1$ hoăc $x=\frac{y-1+3y+1}{2} =2y$
+ với $x=2y$ thay vào $(1)$ ta được :
$4y^2+2y^2+y^2=7$
$\Leftrightarrow  7y^2=7$
$\Leftrightarrow  y=\pm 1\Rightarrow x=\pm 2$

+ Với $x=-y-1$ thay vào $(1)$ ta được
$y^2+2y+1-y^2-y+y^2=7$
$\Leftrightarrow  y^2+6y-6=0$
$\Leftrightarrow  y=2\Rightarrow x=-3$ hoặc $y=-3\Rightarrow x=2$
Vậy hệ đã cho có $4$ nghiệm : $(2,1),(-2;-1), (-3;2),(2,-3)$

câu $7$
Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên ta có AC là đường chéo nên có cạnh là $a\sqrt{2} $
Do SC tạo với đáy một góc bằng $45^0$, mà SA lại vuông góc với $(ABCD)$ nên ta có :
$SA=AC.\tan 45^0=a\sqrt{2} $
Vậy thể tích khối chóp $S.aBCD=\frac{1}{3} .SA. S_{ABCD}=\frac{1}{3} .a\sqrt{2}.a.a=\frac{a^3\sqrt{2} }{3}  $(dvtt)
Ta lại có CD vuông góc với AD, và CD vuông góc với SA nên CD sẽ vuông góc với $(SAD)$, do đó $(SCD)$ vuông góc với $(SAD)$. Từ A kẻ AH vuông góc với SD ta tại H. Suy ra AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(SCD)$.
Vậy $\frac{1}{AH^2} =\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2} =\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2} $
$\Rightarrow AH^2=\frac{2a^2}{3} \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2} }{\sqrt{3} } $

câu $5$
Đường thẳng $(d')$ đi qua A vuông góc với $(d)$ nên ta có :
$4(x+2)+3(y-5)=0$
$\Leftrightarrow  4x+3y-7=0$
Mặt khác ta lại có : $d(A; (d))=\frac{|3.(-2)-4.5+1|}{\sqrt{3^2+4^2} } =5 $
$\Rightarrow M$ là hình chiếu $A$ lên $(d)$ nên M chính là giao điểm của $(d)$ và $(d')$
Vậy tọa độ $M$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases} 3x-4y+1=0\\4x+3y-7=0\end{cases}\Leftrightarrow   \begin{cases} x=1\\y=1\end{cases} $
Vậy $M(1; 1)$

câu $4$
$3^{2x+1}-4.3^x+1=0$
$\Leftrightarrow  3.(3^x)^2-4.3^x+1=0$
Đặt $3^x=t (t>0)$
$\Leftrightarrow  3t^2-4t+1=0$
$\Leftrightarrow  t=1$ hoặc $t=\frac{1}{3} $
Với $t=1$ thì $x=0$
Với $t=\frac{1}{3} \Leftrightarrow  x=-1$
Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ hoặc $x=-1$

Câu $3$
$\int\limits_{1}^{2} \frac{x^2 + 2\ln x}{x} dx =\int\limits_{1}^{2} x dx + \int\limits_{1}^{2} \frac{2\ln x}{x} dx$
$=\frac{x^2}{2} $ cận từ $1$ đến $2$ + $\int\limits_{1}^{2}2\ln x. d(\ln x)$
$=2-\frac{1}{2}+\ln^2 x$ cận từ $1$ đến $2$
$=\frac{3}{2} +\ln^2x$

Câu $2$
$2z=i\overline{z}  =2+5i$
Gọi $z=a+bi$
$\Rightarrow \overline{z}  =z-bi$
$\Leftrightarrow  2(a+bi)-i(a-bi)=2+5i$
$\Leftrightarrow  2a+2bi-ai-b=2+5i$
$\Leftrightarrow  2a-b+(2b-a)i=2+5i$
$\begin{cases}2a-b=2\\ 2b-a=5 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} a=3\\b=4\end
{cases} $
Phần thực của $z$ là $3$
Phần ảo của Z là $4$.