Câu $8$
Điều kiện $x\geq -2$
$(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}\geq x^2+7x+12  $
$\Leftrightarrow  (x+1)(\sqrt{x+2}-2 )+(x+6)(\sqrt{x+7}-3 )\geq x^2+2x-8$
$\Leftrightarrow  \frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{(x+6)(x-2)}{\sqrt{x+7}+3 }\geq (x-2)(x+4)$
$\Leftrightarrow  (x-2)[\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 }  -(x+4)]\geq 0 $              $(*)$

+ Với $-2\leq x\leq -1$ thì
$\begin{cases} \frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } <0 + \frac{5}{3}=\frac{5}{3}\\ x+4\geq 2\end{cases}    \Rightarrow \frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 }-(x+4)<0  $

+ với $-1<x$ thì :
$\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 } +\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } < \frac{x+1}{2}+\frac{x+6}{3}=\frac{5x+15}{6} <x+4  $
$\Rightarrow \frac{x+1}{\sqrt{x+2} +2} +\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } -(x+4)<0$
$\Rightarrow (*)\Leftrightarrow  x-2\leq 0\Leftrightarrow  x\leq 2$
Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow $ tập nghiệm của BPT là : $[-2; 2]$

Câu $7$
$A(1,3)$
Phương trình $AI : 2x-y+1=0$
Gọi $I(a, 2a+1)$
Phương trình $AD : x=1$. gọi $M (1, b)$
Ta có :
$AI^2= MI^2$
$\Rightarrow 5(a-1)^2=(a-1)^2+(2a-b+1)^2$
$\Leftrightarrow  (2a-2)^2=(2a-b+1)^2$
$\Leftrightarrow  b=3$ và $b=1-4a$
Với $b=3$ loại do trùng A
với $b=1-4a\Rightarrow M (1, 1-4a)$
Gọi K là điểm đối xứng với $A$ qua $I\Rightarrow K (2a-1, 4a-1)$
Dễ thấy : $AM\bot MK$
$\underset{AM}{\rightarrow} = (0, -4a-2)$
$\underset{MK}{\rightarrow} =(2a-2, 8a-2)$
$\Rightarrow (4a+2)(8a-2)=0$
$\Leftrightarrow  (2a+1)(4a-1)=0$
$\Leftrightarrow  8a^2+2a-1=0$
$\Leftrightarrow  a=\frac{1}{4} $ và $a=-\frac{1}{2} $
với $a=\frac{1}{4}\Rightarrow m(1,0) \Rightarrow I (\frac{1}{4}, \frac{3}{2}  )$
Với $a=-\frac{1}{2} \Rightarrow m(1,3)$ (loại do trùng với $A$)
$\underset{IM}{\rightarrow} =(\frac{3}{4} , \frac{3}{2} )=(1, -2)$
Phương trình BC qua D vuông góc với MI $\Rightarrow $ có phương trình :
$x-1-2(y+1)=0$
$\Rightarrow x-2y-3=0$

Câu $6$
Từ S kẻ $SH\bot BC$ tại $H\Rightarrow SH\bot (ABC)$
Có : $SH=\sqrt{a^2-\frac{a}{4} }-\frac{a}{2}  \sqrt{3} $
Có tam giác ABC vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2$
$\Leftrightarrow  2AB^2=BC^2=a^2$
$\Leftrightarrow  AB=\frac{a}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} a}{2} $
$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2} AB.AC=\frac{1}{2} .\frac{a^2}{2} =\frac{a^2}{4} $
$\Rightarrow V_{ABC}=\frac{1}{3} SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3} }{2} .\frac{a^2}{4} =\frac{a^3\sqrt{3} }{24} $
Ta có : $BC\bot (SAH)$
từ H kẻ HK vuông góc với $SA$ tại K. Khi đó HK là đường vuông góc chung của SA và BC. Tam giác SHA vuông tại H.
$\Rightarrow \frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HA^2}   $
$\Leftrightarrow  \frac{1}{HK^2}=\frac{1}{\frac{3a^2}{4} }+\frac{1}{\frac{a^2}{4} }   =\frac{4}{4a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{16}{3a^2}   $
$\Rightarrow HK^2=\frac{3a^2}{16}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{3} }{4}  $
$\Rightarrow d(SA, BC)=\frac{a\sqrt{3} }{4} $

câu $4$
a) $\log_2 (x-1)-2\log_4 (3x-2)+2=0$
đk : $x>1$
lúc đó phương trình có dạng :
$\log_2 (x-1)-2\log_{2^2}(3x-2)+2=0$
$\Leftrightarrow  \log_2(x-1)-\log_2(3x-2)+2=0$
$\Leftrightarrow  \log_2 \frac{x-1}{3x-2}=-2 $
$\Leftrightarrow  \frac{x-1}{3x-2}=\frac{1}{4}  $
$\Leftrightarrow  4x-4=3x-2$
$\Leftrightarrow  x=2$ thỏa mãn điều kiện
Vậy $x=2$

b) Ta có số đường thẳng tạo bởi $n$ đỉnh là $C^2_n$
Số đường chéo trong đa giác đều $n$ đỉnh là : $C^2_n -n$ theo giả thiết ta có :
$C^2_n -n=27$
$\Leftrightarrow  \frac{n!}{2!(n-2)!} -n=27$
$\Leftrightarrow  n(n-1)-2n=54$
$\Leftrightarrow  n^2-3n-54=0$
$n=9$ thỏa mãn và $n=-6$ loại
Vậy $n=9$

câu $5$
Mặt cầu $(S)$ có tậm $I(3,2,1)$ và bán kính $R=\sqrt{3^2+2^2+1^2+11}=5 $
Mặt phẳng $(P)$ có véc tơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow} =(6,3,-2)$
Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P): d(I, (P))=\frac{|6.3+3.2-2.1-1|}{\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2} } =3$
Vì $d(I,(P))<R$ nên mặt cầu $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn $(C)$, ta có $J$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$.
Đường thẳng $IJ$ qua $I(3,2,1)$ và vuông góc $(P)$ nên nhận $\underset{n}{\rightarrow} =(6,3,-2)$ làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của IJ là : $\begin{cases}x=6+3t\\y=2+3t\\z=1-2t \end{cases} $
Tọa độ $J$ là nghiệm hệ phương trình : $\begin{cases} 6x+3y-2z-1=0\\ x=6+3t\\y=2+3t\\z=1-2t\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=\frac{3}{7}\\ y=\frac{5}{7} \\ z=\frac{13}{7}  \end{cases} $
Vậy tâm đường tròn $(C)$ cần tìm là : $J(\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, \frac{13}{7}   )$

Câu $3$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(x+1)\sin 2x dx $
Đặt :
$\begin{cases}u=x+1\\ \sin 2x dx = dv \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=\frac{-\cos 2x}{2}  \end{cases} $
$I=(x+1).(\frac{-\cos 2x}{2} )$ cận từ $0$ đến $\frac{\pi}{4} + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} } \frac{\cos 2x}{2}  dx$
$I= 0+\frac{1}{2}+\frac{\sin 2x}{4} $ cận từ $0$ đến $\frac{\pi}{4} =\frac{1}{2} +\frac{1}{4} =\frac{3}{4} $