đây là với trường hợp $-\pi<x<\pi$
Biến đổi hàm số về dạng:
    $(2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y             (1)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi:
      $(2y-1)^2+(y+2)^2\geq (3-4y)^2\Leftrightarrow 11y^2-24y+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{11}\leq y \leq 2$.
Vậy, ta có:
-   $y_{\max}=2$, đạt được khi :
          $3\cos x-4\sin x=-5\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=1      (\frac{3}{5}=\sin \alpha; \frac{4}{5}=\cos \alpha)$
          $x-\alpha =\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$.
-   $y_{\min}=\frac{2}{11}$, đạt được khi:
           $7\cos x +24\sin x=-25\Leftrightarrow  \cos (x-\beta)=-1 .   (\frac{7}{25}=\cos \beta ; \frac{24}{25}=\sin \beta)$
           $\Leftrightarrow x-\beta =\pi+2k\pi\Leftrightarrow x=\beta+\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

pt$\Leftrightarrow (2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y$
để phương trình trên có nghiệm thì: $(2y-1)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant (3-4y)^{2}$
$
\Leftrightarrow 11y^{2}-24y+4\leq 0 \Leftrightarrow y\in [\frac{2}{11};2]$

Đáp số: $Maxy=2, Miny=\frac{2}{11}$