a) HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}12x^{2}y +6xy^{2} =90\\ 8x^{3} +y^{3} =35\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}xy(2x+y)=15\\ 8x^{3} +y^{3}+12x^{2}y +6xy^{2} =125\end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}xy(2x+y)=15\\(2x+y)^3 =125\end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}xy(2x+y)=15\\(2x+y) =5\end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}xy=3\\2x+y =5\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x(5-2x)=3\\y =5-2x\end{cases}$
$\Leftrightarrow (x,y)=(1,3), (3/2,2).$

b) ĐK $x,y \ge 0$. HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x+3}+\sqrt{x}  +\sqrt{y+3}+\sqrt{y} =6\\ \sqrt{x+3} -\sqrt{x}+\sqrt{y+3}-\sqrt{y} =2 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x+3}+\sqrt{x}  +\sqrt{y+3}+\sqrt{y} =6\\ \dfrac{3}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x} }+\dfrac{3}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x} } =2 \end{cases}$
 Đặt $a=\sqrt{x+3}+\sqrt{x} ,b= \sqrt{y+3}+\sqrt{y}. $ Ta được hệ
$\begin{cases}a+b= 6\\ \dfrac{3}{a }+\dfrac{3}{b } =2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a+b= 6\\ \dfrac{3(a+b)}{ab }=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a+b= 6\\ ab=9 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a= 3\\ b =3 \end{cases}$
Với PT $\sqrt{x+3}+\sqrt{x}=3$. Ta có rất nhiều cách để tìm ra nghiệm duy nhất $x=1.$
Tương tự như vậy $\sqrt{y+3}+\sqrt{y}=3\Leftrightarrow y=1.$
 Vậy $(x,y)=(1,1).$

a) HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}x-y=6 \\ x^2+y^2+xy=21 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y+6 \\ (y+6)^2+y^2+(y+6)y=21 \end{cases}$
  $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y+6 \\ 3y^2+18y+15=0 \end{cases}$
   $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y+6 \\ (y+1)(y+5)=0 \end{cases}$
    $\Leftrightarrow(x,y)=(1,-5),(5,-1).$

a) Điều kiện $x,y \ge 0.$
HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x\sqrt{y} +y\sqrt{x})^2 =36 \\ x^{2}y+y^{2}x=20 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}y+y^{2}x+2xy\sqrt{xy} =36 \\ x^{2}y+y^{2}x=20 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{(xy)^3} =8 \\ x^{2}y+y^{2}x=20 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}xy =4 \\ x^{2}y+y^{2}x=20 \end{cases}$
  $\Leftrightarrow \begin{cases}xy =4 \\ xy(x+y)=20 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}xy =4 \\x+y=5\end{cases}$
 $\Leftrightarrow (x,y)=(1,4),(4,1).$

b) $\begin{cases}x^{3}  -y^{3} =7(x-y) \\ x^{2} +y^{2} =x+y+2  \end{cases}$
Từ PT thứ nhất ta suy ra $x=y$ hoặc $x^2+y^2+xy=7.$
+ Nếu $x=y$, thay vào PT thứ hai ta được $2x^2=2x+2\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1-\sqrt 5}{2}.$
+ Trường hợp còn lại ta được hệ mới
$\begin{cases}x^2+y^2+xy=7\\ x^{2} +y^{2} =x+y+2 \qquad (2) \end{cases}$
 Trừ theo từng vế hai PT của hệ này $\Rightarrow xy=5-(x+y)$
Mặt khác từ $(2)\Rightarrow (x+y)^2-2xy =x+y+2$
$\Rightarrow (x+y)^2-2(5-(x+y)) =x+y+2$
$\Rightarrow (x+y)^2+(x+y) -12=0$
 $\Rightarrow x+y=-4$ hoặc $x+y=3.$
Ta có
$\begin{cases}x+y=-4 \\ xy=9 \end{cases}$, hệ này vô nghiệm.
Hoặc
$\begin{cases}x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=2 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x=2\\ y=1 \end{cases}$.
 Vậy $(x,y)=(1,2),(2,1),\left ( \dfrac{1-\sqrt 5}{2},\dfrac{1-\sqrt 5}{2} \right )$.

a) Cộng trừ lần lượt hai vế của hai PT của hệ
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^{2} +y^{2} =\dfrac{19}{2}(x-y)^{2}+\dfrac{7}{2}(x-y) \\2xy=19(x-y)^{2}-7(x-y)  \qquad (1)\end{cases}$
 trừ hai vế của hệ này ta được
     $(x-y)^{2}=-\dfrac{19}{2}(x-y)^{2}+\dfrac{21}{2}(x-y) $
$\Leftrightarrow \dfrac{21}{2}(x-y)^{2}=\dfrac{21}{2}(x-y)$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x-y=0\\x-y=1 \end{matrix}} \right.$
 + Với $x=y$. Thay lại vào $(1)$ ta có $x=y=0.$
 + Với $x=y+1$. Thay lại  vào $(1)$ ta có $\quad 2(y+1)y=12\Leftrightarrow y=-3$ hoặc $y=2.$
Vậy $(x,y)=(0,0),(-2,-3),(3,2).$

b) HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^{2} + y^{2} +x-y =4 \\x^{2} + y^{2} +x-y -xy=2 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}x^{2} + y^{2} +x-y =4 \\xy=2 \end{cases}$
  $\Leftrightarrow \begin{cases}x^{2} + \dfrac{4}{x^2} +x-\dfrac{2}{x} =4 \\y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}x^{2} + \dfrac{4}{x^2} +x-\dfrac{2}{x} =4 \\y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}(x^{2} -2)(x+2)(x-1) =0 \\y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$
 Vậy $(x,y)=(1.2),(-2,-1),(\sqrt 2,\sqrt 2),(-\sqrt 2,-\sqrt 2).$

a)

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/101621/bai-101621

b) Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/106655/bai-106655

b) Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/104388/bai-104386

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/101888/bai-101886

Tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm $f(x)$ còn phụ thuộc vào từng hàm cụ thể trong những bài toán nhất định. Vì vậy ở đây mình sẽ chưa phân loại các trường hợp này. Trong các bài tập dạng như vậy, bạn chỉ cần quan tâm đến hai loại chính :

+ Trả lời cho câu hỏi tìm $m$ trên miền xác định $D$ của hàm $f$ để BPT $f(x) \ge m$ .
$\bullet$ Có nghiệm :  Ta chỉ cần tìm $\quad \displaystyle \max_{x \in D} f(x) \ge m.$
$\bullet$ Có nghiệm với mọi $x \in D$:  Ta chỉ cần tìm $\quad \displaystyle \min_{x \in D} f(x) \ge m.$

 + Trả lời cho câu hỏi tìm $m$ trên miền xác định $D$ của hàm $f$ để BPT $f(x) \le m$ .
$\bullet$ Có nghiệm :  Ta chỉ cần tìm $\quad \displaystyle \min_{x \in D} f(x) \le m.$
$\bullet$ Có nghiệm với mọi $x \in D$:  Ta chỉ cần tìm $\quad \displaystyle \max_{x \in D} f(x) \le m.$

b) ĐK : $-1<x<1.$
BPT
$\Leftrightarrow \dfrac{3x-1-\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}<0$
$\Leftrightarrow 3x-1-\sqrt{1-x^{2}}<0$
$\Leftrightarrow 3x-1<\sqrt{1-x^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x<1/3\\ \begin{cases}x\ge 1/3 \\ (3x-1)^2<1-x^2 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} -1<x<1/3\\ \begin{cases}1>x\ge 1/3 \\ (3x-1)^2<1-x^2 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} -1<x<1/3\\ \begin{cases}1>x\ge 1/3 \\x(5x-3)<0 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow -1<x<3/5.$

a) Điều kiện $-3x^{2} +x +4 \ge 0, x\ne 0\Rightarrow -1 \le x \le 4/3, x\ne 0.$
BPT
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{-3x^{2} +x +4} +2-2x}{x}<0$
+ Nếu $-1 \le x <0$ thì BPT
$\Leftrightarrow \sqrt{-3x^{2} +x +4} +2-2x>0\Leftrightarrow \sqrt{-3x^{2} +x +4} >2x-2$, điều này luôn đúng vì
$ \sqrt{-3x^{2} +x +4} >0>2x-2$.
+ Nếu $0<x \le 4/3$ thì BPT
$\Leftrightarrow \sqrt{-3x^{2} +x +4} +2-2x<0\Leftrightarrow \sqrt{-3x^{2} +x +4} <2x-2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}1 \le x \le 4/3 \\ -3x^{2} +x +4<4x^2-8x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1 \le x \le 4/3 \\ x(7x-9)>0 \end{cases}\Leftrightarrow 9/7<x\le 4/3$.
Vậy $-1 \le x <0$ hoặc $9/7<x\le 4/3$.

Bạn xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/102637/bai-102637

Bạn xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114348/chung-minh-bat-dang-thuc

 http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/104906/bai-104906