PT
$\Leftrightarrow 2\sin\frac{7x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2} +2\sin2x\cos7x =0$
$\Leftrightarrow \sin 5x + \sin 2x + \sin 3x - \sin 2x +\sin 9x - \sin 5x =0$
 $\Leftrightarrow \sin 3x +\sin 9x =0$
  $\Leftrightarrow \sin 3x =\sin (-9x )$.

PT
$\Leftrightarrow (1-\sin^{2}x)\tan x+(1-\cos^{2}x)\cot x +1+\sin 2x = 0$
$\Leftrightarrow \cos^2 x\tan x+\sin^2 x\cot x +1+\sin 2x = 0$
 $\Leftrightarrow \cos x\sin x+\sin x\cos x +1+\sin 2x = 0$
 $\Leftrightarrow 2\cos x\sin x +1+\sin 2x = 0$
 $\Leftrightarrow 1+2\sin 2x = 0$
 $\Leftrightarrow \sin 2x = -1/2$.

Đặt $t= \tan x+ \cot x \Rightarrow t^2=\tan^2x +\cot^2 x+2\Rightarrow \tan^2x +\cot^2 x=t^2-2.$
PT
$\Leftrightarrow 3(t^2-2)+4t+2=0\Leftrightarrow 3t^2+4t-4=0\Leftrightarrow t=-2$ hoặc $t=2/3.$
+ Nếu $t=-2\Leftrightarrow \tan x+ \dfrac{1}{\tan x}+2=0\Leftrightarrow (\tan x+1)^2=0\Leftrightarrow \tan x=-1.$
+ Nếu $t=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \tan x+ \dfrac{1}{\tan x}-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow3\tan^2x-2\tan x+3=0$, Pt này vô nghiệm.

a) Phần này em làm theo cách ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/116158/toa-do-06

Điều kiện $\cos x \ne 0.$
PT
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x =\frac{1}{\cos x}-\cos x $
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x =\frac{1-\cos^2 x}{\cos x} $
 $\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x =\frac{\sin^2x}{\cos x} $
 $\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \sin x =0\\\sin x =\sqrt 3 \cos x  \end{matrix}} \right.$
  $\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \sin x =0\\\dfrac{1}{2}\sin x -\dfrac{\sqrt 3}{2} \cos x  =0\end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \sin x =0\\\sin (x-\dfrac{\pi}{3}) =0\end{matrix}} \right.$
 Em tự viết nốt nghiệm nhé.

Từ giả thiết $x+y+xy=x^2 +y^2\Rightarrow x+y+xy=(x+y)^2-2xy\Rightarrow xy=\dfrac{(x+y)^2-(x+y)}{3}$
Ta thấy rằng nếu $x+y=0\Rightarrow xy=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=0.$
Xét $x+y \ne 0$, cũng từ gt
$x+y+xy=x^2 +y^2\Rightarrow x+y=x^2 +y^2-xy\Rightarrow (x+y)^2=x^3+y^3.$
Suy ra
$P = (x+y)^2+x+y+xy-6(x+y)= (x+y)^2-5(x+y)+\dfrac{(x+y)^2-(x+y)}{3}$
$P=\dfrac{4(x+y)^2-16(x+y)}{3}$
$P=\dfrac{4(x+y)^2-16(x+y)+16}{3}-\dfrac{16}{3}$
 $P=\dfrac{4(x+y-2)^2}{3}-\dfrac{16}{3} \ge -\dfrac{16}{3}.$
 Vậy $\min P =-\dfrac{16}{3} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y=2 \\ x+y+xy=x^2 +y^2 \end{cases}$
Bạn có thể giải chi tiết hệ này, chỉ cần tìm được một nghiệm, chẳng hạn $x= 1+\dfrac{1}{\sqrt 3},y= 1-\dfrac{1}{\sqrt 3}$.

b) Để $MA+MB$ nhỏ nhất thì ta có thể nghĩ đến việc tìm $M$ sao cho $MA$ nhỏ nhất và $MB$ nhỏ nhất. Để có điều này thì $MA \perp (d)$ và $MB \perp (d)$.
 Như vậy mp$(MAB) \perp (d)$. Ta xác định mp này bằng cách thấy rằng nó đi qua $A(3,1,1)$ và có VTPT chính là $\overrightarrow{u_d}=(1,2,1).$ Do đó
$(MAB) : 1(x-3)+2(y-1)+1(z-1)=0\Leftrightarrow x+2y+z-6=0.$
Để tìm ra điểm $M$ thì ta thấy nó là giao điểm của $(d)$ và mp$(MAB)$. Tức là nó thỏa mãn hệ
$\begin{cases}\dfrac{x-7}{1} =\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-9}{1} \\ x+2y+z-6=0 \end{cases}\implies M\left ( \dfrac{13}{3},- \dfrac{7}{3}, \dfrac{19}{3} \right )$.

a) Ta có
$(d)$ đi qua điểm $M(7,3,9)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(1,2,1)$.
$AB$ đi qua điểm $A(3,1,1)$ và có VTCP $\overrightarrow{AB}=(-7,2,3)$.
 Để $(d)$ và $AB$ chéo nhau ta phải kiểm tra
$\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{AB}} \right].\overrightarrow{AM}=0$
$\Leftrightarrow \left[ {(1,2,1),(-7,2,3)} \right].(4,2,8)\ne 0$
$\Leftrightarrow (4,-10,16).(4,2,8)\ne0$
 $\Leftrightarrow 4.4-10.2+16.8\ne0$, đây là điều luôn đúng.
Mặt khác $\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{AB}=(1,2,1).(-7,2,3)=-7+4+3=0\implies \overrightarrow{u_d}\perp\overrightarrow{AB}$.
Ta có đpcm.

Nếu em xem lý thuyết tại
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113570/viet-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian
Thì chú ý là ở đấy có một chút nhầm lẫn nhé. Anh sẽ cố gắng sửa nhanh nhất có thể.

Em xem lý thuyết ở đây nhé.

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113570/viet-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian

Ta có
$(d)$ đi qua điểm $M(0,0,0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2,-3,m)$.
$(d')$ đi qua điểm $N(-1,-5,0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{d'}}=(3,2,1)$.
 Để $(d)$ cắt $(d')$
 $\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ {\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{u_{d'}}} \right]\ne \overrightarrow{0} \\\\ \left[ {\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{u_{d'}}} \right].\overrightarrow{MN}=0 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ {(2,-3,m),(3,2,1)} \right]\ne \overrightarrow{0} \\\\ \left[ {\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{u_{d'}}} \right].(-1,-5,0)=0 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}(-3-2m,3m-2,13)\ne \overrightarrow{0} \\\\ (-3-2m,3m-2,13).(-1,-5,0)=0 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne\pm 2/3 \\\\ 3+2m-5(3m-2)=0 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow m=1.$

b) Để viết PT mp(R) ta cần phải tìm thêm một VTCP nữa. Vì đã chọn được một VTCP chính là $\overrightarrow{u_{d}},$
nên để làm điều này ta chỉ cần lấy $M(1,0,-1) \in (d),N(3,2,-1) \in (d')$. Nên VTCP phải tìm chính là $\overrightarrow{MN}=(2,2,0)$.
Ta có
$[\overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{MN}]=[(-3,-2,1),(2,2,0)]=(-2,2,-2)\implies $ chọn $\overrightarrow{n_{R}}=(-1,1,-1)$.
 Từ đây suy ra mp (R) đi qua $M(1,0,-1)$ và có $\overrightarrow{n_{R}}=(-1,1,-1)$ nên có PT
$-1(x-1)+1(y-0)-1(z+1)=0\Leftrightarrow -x+y-z=0.$

a) Ta có
$[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}]=[(2,-3,0),(1,0,3)]=(-9,-6,3)\implies $ chọn $\overrightarrow{u_d}=(-3,-2,1)$.
$[\overrightarrow{n_{A}},\overrightarrow{n_{B}}]=[(2,-3,0),(0,1,2)]=(-6,-4,2)\implies $ chọn $\overrightarrow{u_{d'}}=(-3,-2,1)$.
 Từ đây suy ra $\overrightarrow{u_{d'}}=\overrightarrow{u_{d}}\implies (d) \parallel (d').$

b) Trước hết để PT có hai nghiệm thì ta cần
$\Delta' >0 \Leftrightarrow 1-m>0\Leftrightarrow m<1.$
Áp dụng định lý Vi-et ta có $x_1+x_2=-b/a=-2$
Như vậy thì không tồn tại số $m$ nào sao cho $x_1+x_2=32.$

a) Trước hết để PT có hai nghiệm thì ta cần
$\Delta' >0 \Leftrightarrow 1-m>0\Leftrightarrow m<1.$
Áp dụng định lý Vi-et ta có $x_1+x_2=-b/a=-2\Rightarrow 2(x_1+x_2)=-4$
Như vậy từ
$3x_1+2x_2=1\Leftrightarrow x_1+ 2(x_1+x_2)=1\Leftrightarrow x_1-4=1\Leftrightarrow x_1=5.$
Thay ngược trở lại PT ta có
$5^2+2.5+m=0\Leftrightarrow m=-35.$ Thử lại thấy thỏa mãn.

b) Theo câu a trước hết ta có $m<1.$
Vì có một nghiệm $x=4$ nên ta có
$(m+1)4^2+5.4+m^2-1=0\Leftrightarrow m^2+16m+35=0\Leftrightarrow m=-8 \pm \sqrt{29}.$

a) Để PT có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac <0\Leftrightarrow (m+1)(m^2-1)<0\Leftrightarrow (m+1)^2(m-1)<0\Leftrightarrow m<1.$