Giả sử điểm $M(2+3t,-2t,4+2t) \in (d)$. Ta có
$MA^2=(3t+1)^2+(2t+2)^2+(2t+5)^2=17t^2+34t+30=17(t+1)^2+13 \ge 13$
$MB^2=(3t-5)^2+(2t-2)^2+(2t+1)^2=17t^2-34t+30=17(t-1)^2+13 \ge 13$
 Như vậy
$\min MA = \sqrt{13}\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow M(-1,2,2).$
$\min MB = \sqrt{13}\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow M(5,-2,6).$

Đây là bài tập liên quan đến dạng lượng giác. Để chứng minh bài này cần hai bài toán phụ sau đây. Bạn thử sức với nó nhé.
$\bf Bài  toán  phụ  1$: $A, B, C>0$ là ba góc của một tam giác khi và chỉ khi
$\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2}+\tan \dfrac{C}{2}\tan \dfrac{A}{2}=1$
$\bf Bài  toán  phụ  2$: $A, B, C$ là ba góc của một tam giác thì ta có BĐT
$\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$
Quay trở lại bài toán ban đầu. Vì hàm $\tan$ là hàm có miền giá trị thoải mái nên có thể đặt
$x=\tan \dfrac{A}{2},y=\tan \dfrac{B}{2}z=\tan \dfrac{C}{2}$. từ điều kiện $xy+yz+zx=1$ và $\bf Bài  toán  phụ  1$ ta suy ra
$A, B, C$ là ba góc của một tam giác.
 Tiếp tục sử dụng $\bf Bài  toán  phụ  2$ ta suy ra
       $\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$
 $\Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2} \cos \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2} \cos \dfrac{C}{2}\le \dfrac{3}{2}$
 $\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} + \dfrac{y}{\sqrt{y^{2}+1}} + \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq  \frac{3}{2} $,đpcm.
 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều $\Leftrightarrow x=y=z=1/\sqrt 3.$

Bạn xem câu a) tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/110028/bai-110026

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+\sin x}{1+3\cos x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{1+3\cos x}dx- \dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{-3\sin x}{1+3\cos x}dx$
$I=I_1- \dfrac{1}{3}\ln |1+3\cos x|_{0}^{\pi/2}$
$I=I_1+\dfrac{2\ln 2}{3}$ 

Đặt $t = \tan \dfrac{x}{2}\Rightarrow dt = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\cos^2 \dfrac{x}{2}}dx= \dfrac{1}{2}(1+t^2)dx$
Suy ra
$I_1 =\displaystyle  \int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{1+3\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}.\dfrac{2}{1+t^2}dt$

$I_1 =\displaystyle  \int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{2-t^2}dt=\dfrac{1}{2\sqrt 2}\ln \left| {\dfrac{\sqrt 2 +t}{\sqrt 2 -t}} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2\sqrt 2}\ln \left ( {\dfrac{\sqrt 2 +1}{\sqrt 2 -1}} \right )$

 Vậy $\boxed{I=\dfrac{1}{2\sqrt 2}\ln \left ( {\dfrac{\sqrt 2 +1}{\sqrt 2 -1}} \right )+\dfrac{2\ln 2}{3}.}$

Điều kiện $x^3+8 \ge 0\Leftrightarrow x \ge -2.$
Để giải phương trình chứa căn thì có rất nhiều phương pháp. Bạn có thể vào phần chuyên đề của chúng tôi để tham khảo.
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/Chu-De/phuong-trinh-he-phuong-trinh-bat-phuong-trinh
Trong bài tập này ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
PT
$\Leftrightarrow 2 (x^{2}-3x+2) =3\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}$
Ta thấy rằng $x^{2}-3x+2=(x^2-2x+4)-(x+2)$. Do đó ta sẽ đặt
$a= \sqrt{x^2-2x+4}, b= \sqrt{x+2},a,b \ge 0$ thì PT
$\Leftrightarrow 2(a^2-b^2)=3ab\Leftrightarrow 2a^2-3ab-2b^2=0\Leftrightarrow (2a+b)(a-2b)=0$
+ Nếu $2a+b=0\Leftrightarrow a=b=0$ do $a, b \ge 0.$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+2=0 \\ x^2-2x+4=0 \end{cases}$, hệ này vô nghiệm vì $x^2-2x+4=(x-1)^2+3 >0 \quad \forall x.$
+ Nếu $a-2b=0\Leftrightarrow a=2b$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+4}=2 \sqrt{x+2}\Leftrightarrow x^2-2x+4=4x+8\Leftrightarrow x^2-6x-4=0$
$x= 3 \pm \sqrt{13}$, thử lại thấy thỏa mãn.

Giả sử đường thẳng $(d)$ đi qua điểm cố định $M(x_0,y_0)$. Tức là khi thay tọa độ điểm $M$ vào PT thì ta thấy thỏa mã
       $y_0=(m-1)x_0+2 \quad \forall m$.
$\Leftrightarrow y_0=mx_0-x_0+2 \quad \forall m$.
$\Leftrightarrow mx_0+2-x_0-y_0=0 \quad \forall m$.
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_0=0 \\2-x_0-y_0=0 \end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}x_0=0 \\y_0=2\end{cases}$
 Vậy $(d)$ đi qua điểm $M(0,2)$ cố định.

BPT
$\Leftrightarrow  2^{2x}< 3.2^{\sqrt{x}+x}+2^{2\sqrt{x}+2}$
$\Leftrightarrow  1< 3.2^{\sqrt{x}-x}+2^{2\sqrt{x}-2x+2}$
$\Leftrightarrow   3.2^{\sqrt{x}-x}+4.2^{2(\sqrt{x}-x)}-1>0$
Đặt $t=2^{\sqrt{x}-x}>0$ thì  
 BPT $\Leftrightarrow 4t^2+3t-1>0\Leftrightarrow (t+1)(4t-1)>0\Leftrightarrow t>2^{-2}\Leftrightarrow 2^{\sqrt{x}-x}>2^{-2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}  - x >{-2}\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2<0\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)<0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\Leftrightarrow \boxed{0 \le x <4}$

Ta biết rằng với mọi góc $a$ thì
$\sin (a+\pi)=\sin (2\pi-(\pi-a))=-\sin (\pi -a)=-\sin a$ và
$ \sin(a + \dfrac{\pi}{2})= \sin(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-a))=\sin(\dfrac{\pi}{2}-a)=\cos a$
Do đó PT
$\Leftrightarrow -\tan(x-\dfrac{\pi}{4})\sin3x+ \cos 3x=0$
$\Leftrightarrow \tan(x-\dfrac{\pi}{4})\sin3x= \cos 3x\quad (1)$
 Nếu $\sin 3x =0$ thì từ $(1)\Rightarrow \cos 3x=0$, đây là điều không thể vì $\sin^23x+\cos^23x=1.$
Với $\sin 3x \ne 0$ thì PT $(1)$
$\Leftrightarrow \tan(x-\dfrac{\pi}{4})=\cot 3x $
$\Leftrightarrow \tan(x-\dfrac{\pi}{4})=\tan(\dfrac{\pi}{2}-3x) $
 Đến đây không khó để giải tiếp.

Điều kiện $\cos x \ne 0.$
PT
$\Leftrightarrow \sin x +\dfrac{\sin x}{\cos x} =\dfrac{1-\cos^2x}{\cos x}  $
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin x(1+\cos x)}{\cos x} =\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}  $
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ 1+\cos x=\sin x \end{matrix}} \right.  $
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ \sin x-\cos x=-1 \end{matrix}} \right.  $
  $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ \sin( x-\dfrac{\pi}{4})=-1/\sqrt 2 \end{matrix}} \right.  $

PT
$\Leftrightarrow  \dfrac{(\sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2})(\sin^2 \dfrac{x}{2} +\cos^2 \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2})}{2+\sin x} = \dfrac{1}{3}\left ( \cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2} \right )\left ( \cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2} \right ) $
$\Leftrightarrow  \dfrac{(\sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2})(2+2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2})}{2(2+\sin x)} + \dfrac{1}{3}\left ( \sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2}\right )\left ( \cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2} \right ) =0$
 $\Leftrightarrow  \dfrac{(\sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2})(2+2\sin x)}{2(2+\sin x)} + \dfrac{1}{3}\left ( \sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2}\right )\left ( \cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2} \right ) =0$
  $\Leftrightarrow  \dfrac{1}{2}\left ( \sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2}\right )+ \dfrac{1}{3}\left ( \sin \dfrac{x}{2} -\cos \dfrac{x}{2}\right )\left ( \cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2} \right ) =0$
 $\Leftrightarrow  \left[ {\begin{matrix} \sin \dfrac{x}{2}=\cos \dfrac{x}{2}\\\\ \sin \dfrac{x}{2} +\cos \dfrac{x}{2}=-3/2 <-1    \text{(loại)}\end{matrix}} \right.$

Điều kiện $\sin x+\cos x \ne 0.$
PT
$\Leftrightarrow \dfrac{(1-\sin^2 x)(\cos x-1)}{\sin x+\cos x} =2(1+\sin x)$
$\Leftrightarrow \dfrac{(1+\sin x)(1-\sin x)(\cos x-1)}{\sin x+\cos x} =2(1+\sin x)$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=-1\\\dfrac{(1-\sin x)(\cos x-1)}{\sin x+\cos x} =2  \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=-1\\\cos x-\sin x\cos x-1+\sin x=2\sin x +2\cos x  \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=-1\\\sin x +\cos x+\sin x\cos x+1=0  \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=-1\\(\sin x+1)(\cos x+1)=0  \end{matrix}} \right.$
  $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=-1\\\cos x=-1  \end{matrix}} \right.$

Điều kiện $\cot x \ne 1,\sin 2x \ne 0.$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{\sin  x}{\cos x}+\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}}=\dfrac{\sqrt{2}(\cos x-\sin x)}{\dfrac{\cos x}{\sin x}-1}$
$\Leftrightarrow  \dfrac{1}{\dfrac{2\sin^2 x+\cos 2x}{\sin 2x}}=\dfrac{\sqrt{2}(\cos x-\sin x)}{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x}}$
 $\Leftrightarrow \dfrac{\sin 2x}{2\sin^2 x+\cos 2x}=\sqrt{2}\sin x$
 $\Leftrightarrow \dfrac{\sin 2x}{1-\cos 2x+\cos 2x}=\sqrt{2}\sin x$
 $\Leftrightarrow \sin 2x=\sqrt{2}\sin x$
 $\Leftrightarrow \cos x=1/\sqrt{2}$, vì $\sin x \ne 0.$

Điều kiện $\sin 2x \ne 0.$
PT
$\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}= \dfrac{2\cos4x}{\sin2x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\sin x\cos x}= \dfrac{2\cos4x}{\sin2x}$
 $\Leftrightarrow \dfrac{\cos2x}{\sin x\cos x}= \dfrac{2\cos4x}{\sin2x}$
 $\Leftrightarrow \dfrac{2\cos2x}{\sin 2x}= \dfrac{2\cos4x}{\sin2x}$
 $\Leftrightarrow \cos 2x =\cos 4x.$

Điều kiện $\cos x \ne 0.$
PT
$\Leftrightarrow (\sin x -\cos x)^2 =2\sin^{2}x -\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$\Leftrightarrow \sin^2 x +\cos^2 x-2\sin x \cos x =\dfrac{\sin x}{\cos x}(2\sin x \cos x -1) $
$\Leftrightarrow 1-\sin 2x +\dfrac{\sin x}{\cos x}(1-\sin 2x )=0 $
$\Leftrightarrow (1+\tan x)(1-\sin 2x )=0 $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \tan x=-1\\ \sin 2x =1 \end{matrix}} \right.$