1, $\int\limits x(1 + x^2)^{10}dx=\frac{1}{2}\int\limits (1 + x^2)^{10}d(x^2+1)=\frac{1}{2}.\frac{(1 + x^2)^{11}}{11}+C$

2a. $F=\left| {\frac{x-1}{x}} \right|\sqrt{x^2+x+1}$.
+ Tìm min :
Hiển nhiên ta có $F \ge 0\quad \forall x \ne 0\Rightarrow \min F=0\Leftrightarrow x=1.$
+ Tìm max :
Biểu thức này không có GTLN vì
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty} F =\left| {\frac{x-1}{x}} \right|\sqrt{x^2+x+1}=|x-1|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=+\infty.$

Từ $y=\frac{1+\sin x}{2+\cos x}$
$\Rightarrow y(2+\cos x)=1+\sin x$
$\Rightarrow \sin x-y.\cos x=2y-1$
$\Rightarrow (\sin x-y.\cos x)^2=(2y-1)^2$
$\Rightarrow (2y-1)^2 \le (\sin^2x +\cos^2x)(1+y^2)$
$\Rightarrow (2y-1)^2 \le1+y^2$
$\Leftrightarrow 0 \le y \le 4/3$
$\Leftrightarrow y \in \{ 0,1\}$, do $y \in \mathbb Z.$
+ $y=0\Rightarrow \sin x =-1.$
+ $y=1\Rightarrow \sin x-\cos x=1.$
Bạn tự tìm nốt nghiệm $x$ nhé.

Câu 1 em xem ở đây nhé
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114029/giai-he-phuong-trinh

Đề bài thế này thì rất đơn giản. Để hàm số xác định khi và chỉ khi $x^2 \ne 0\Leftrightarrow x \ne 0.$

Em xem ở đây nhé
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/111549/bai-111548

Tìm min, max bằng phương pháp hàm số

Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó
$S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$
Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên
$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$