a) PT
$\Leftrightarrow (x-1)(x+5)(x-3)(x+7)=297$
$\Leftrightarrow (x^2-4x-5)(x^2-4x-21)=297$
 Đặt $x^2-4x-13=t$ thì PT trên
$\Leftrightarrow (t+8)(t-8)=297$
$\Leftrightarrow t^2-64=297$
 $\Leftrightarrow t^2=361$
  $\Leftrightarrow t=\pm19$
 + Nếu $t=19\Leftrightarrow x^2-4x-13=19\Leftrightarrow x^2-4x-32=0\Leftrightarrow x=8$ hoặc $x=-4.$
+ Nếu $t=-19\Leftrightarrow x^2-4x-13=-19\Leftrightarrow x^2-4x+6=0\Leftrightarrow $, PT vô nghiệm.
Vậy $x \in \left\{ {-4,8} \right\}$

c) PT
$\Leftrightarrow (6x+7)^{2}(6x+8)(6x+6) = 72$
$\Leftrightarrow (36x^2+84x+49)(36x^2+84x+48)=72$
 Đặt $36x^2+84x+48=t$ thì PT trên
$\Leftrightarrow t(t+1)=72$
$\Leftrightarrow t^2+t-72=0$
$\Leftrightarrow t=-9$ hoặc $t=8.$
 + Nếu $t=-9\Leftrightarrow 36x^2+84x+48=-9\Leftrightarrow 36x^2+84x+57=0\Leftrightarrow $, PT vô nghiệm.
+ Nếu $t=8\Leftrightarrow 36x^2+84x+48=8\Leftrightarrow 36x^2+84x+40=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}$ hoặc $x=-\dfrac{5}{3}.$
Vậy $x \in \left\{ {-\dfrac{2}{3},-\dfrac{5}{3}} \right\}$

b) PT
$\Leftrightarrow (x-7)(x-2)(x-5)(x-4)=72$
$\Leftrightarrow (x^2-9x+14)(x^2-9x+20)=72$
 Đặt $x^2-9x+17=t$ thì PT trên
$\Leftrightarrow (t-3)(t+3)=72$
$\Leftrightarrow t^2-9=72$
 $\Leftrightarrow t^2=81$
  $\Leftrightarrow t=\pm9$
 + Nếu $t=9\Leftrightarrow x^2-9x+17=9\Leftrightarrow x^2-9x+8=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=8.$
+ Nếu $t=-9\Leftrightarrow x^2-9x+17=-9\Leftrightarrow x^2-9x+26=0\Leftrightarrow $, PT vô nghiệm.
Vậy $x \in \left\{ {1,8} \right\}$

b

Dễ kiểm tra rằng $x=1$ không phải là nghiệm của PT. Vì vậy ta có thể xét $x-1 \ne 0$.
Nhân hai vế của PT này với $x-1$ ta được PT
$\Leftrightarrow (x-1)(x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} +x +1)=0$
$\Leftrightarrow x^7-1=0$           ( hằng đẳng thức cho vế trái )
$\Leftrightarrow x^7=1$
 $\Leftrightarrow x=1$, vô lý.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

Một cách đầy đủ hơn bạn có thể xem tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115340/giup-voi

 Lúc đó với mọi $n \ge 1$ thì ta có
$\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}  \le 1 \implies x_n=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}} \le 2$
 Điều này có nghĩa là dãy số bị chặn trên bởi $2$. Và hiển nhiên thấy $x_n >0 \quad\forall n$ nên nó chặn dưới bởi $0$.

Có lẽ lời giải kia đã nhầm giữa bài toán sự tương giao của đồ thị với trục hoành với bài toán cực trị của hàm số.

Để hàm số bậc ba có CĐ và CT thì trước hết đạo hàm phải có nghiệm phân biệt.
Ta có $f'(x)=3x^2+6x+m$
$\Delta '=9-3m>0\Leftrightarrow m<3.$
Lúc này ta đem chia $f(x)$ cho $f'(x)$ để tìm phần dư thì đó chính là phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT.
 Đó là $(d):y=\left ( \dfrac{2m}{3}-2 \right )x+\dfrac{2m}{3}-2$
Bây giờ để CĐ và CT nằm về hai phía của trục hoành thì $(d)$ phải cắt trục hoành $y=0$ tại một điểm duy nhất, tức là không được trùng nhau. Như vậy PT sau có nghiệm duy nhất
$\left ( \dfrac{2m}{3}-2 \right )x+\dfrac{2m}{3}-2=0$
Nếu và chỉ nếu $\dfrac{2m}{3}-2 \ne 0\Leftrightarrow m \ne 3.$
Vậy tóm lại $m<3.$

Gọi $u_1,q$ là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân nói đến trong bài toán.
Gọi $a_1,d$ là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng nói đến trong bài toán.
Theo giả thiết ta có thể viết
$u_1=a_1+d$
$u_2 = u_1q=a_1+4d$
$u_3=u_1q^2=a_1+16d$
Từ đây suy ra
$u_1-u_1q=a_1+d-(a_1+4d)=-3d\Rightarrow u_1(1-q)=-3d$
$u_1q-u_1q^2=a_1+4d-(a_1+16d)=-12d\Rightarrow u_1q(1-q)=-12d$
Với giả thiết các vế khác $0$ nên ta có
$\dfrac{1}{q}=\dfrac{u_1(1-q)}{u_1q(1-q)}=\dfrac{-3d}{-12d}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow q=4>1$
Do công bội lớn hơn $1$ thì không thể tồn tại tổng vô hạn. Vì vậy không tồn tại các số $u_1,u_2,u_3$ thỏa mãn bài toán.

Điều kiện $\begin{cases}x>3\\ x^2 \ge 16 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>3 \\ \left[ {\begin{matrix} x\ge4\\ x\le-4 \end{matrix}} \right. \end{cases}\Leftrightarrow x>4$
BPT
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{x^{2}-16}}{\sqrt{x-3}}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x-3}}  > \dfrac{7-x}{\sqrt{x-3}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-16}+x-3  > 7-x$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-16} > 10-2x$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-16} > 5-x$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}5-x\le0\\\begin{cases}5-x>0\\x^{2}-16>(5-x)^2\end{cases}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x\ge5\\\begin{cases}x<5\\x^2-16>x^2-10x+25\end{cases}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x\ge5\\\begin{cases}x<5\\x>\dfrac{41}{10}\end{cases}\end{array}\right. \Leftrightarrow x>\dfrac{41}{10}$