Tìm min, max bằng phương pháp BĐT cổ điển

Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó  $S  = \frac{2-2t}{t+2}$
$\bullet    t \le \frac{1}{4}\Rightarrow \begin{cases}2-2t \ge \frac{3}{2} \\ \frac{1}{t+2} \ge \frac{4}{9}\end{cases}\Rightarrow
S \ge \frac{2}{3}.$
$\bullet    t \ge 0\Rightarrow \begin{cases}2-2t \le 2 \\ \frac{1}{t+2} \le \frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$

Em xem ở đây nhé
 http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/102740/bai-102739

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

2, $I=\int\limits\frac{dx}{\cos\frac{x}{2}}=\int\limits\frac{\cos\frac{x}{2}dx}{\cos^2\frac{x}{2}}=2\int\limits\frac{d\left ( \sin\frac{x}{2} \right )}{1-\sin^2\frac{x}{2}}=\int\limits\left ( \frac{d\left ( \sin\frac{x}{2} \right )}{\sin\frac{x}{2}+1}-\frac{d\left ( \sin\frac{x}{2} \right )}{\sin\frac{x}{2}-1} \right )$
$=\ln\left| {\sin\frac{x}{2}+1} \right|-\ln\left| {\sin\frac{x}{2}-1} \right|=\ln\left| {\frac{\sin\frac{x}{2}+1}{\sin\frac{x}{2}-1}} \right|+C.$

3, $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}} \sin4x \sin2xdx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \cos 2x -\cos 6x \right )dx=\frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{6}\sin 6x} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}} =0$

Theo ý kiến của riêng mình về vấn đề này thì cách nhận ra $f(3)=0$ chỉ là một thao tác nhẩm nghiệm. Nó chỉ được coi la một mẹo nhỏ nhằm giảm bớt chi phí trình bày cho lời giải. Số $3$ được tìm thông qua một vài tiêu chí nho nhỏ, nó là số tự nhiên và đều làm cho các biểu thức trong căn là các số chính phương, và quan trọng nhất nó là số làm cho hàm số có giá trị bằng $0$. Kỹ thuật nhẩm nghiệm này rõ ràng không phổ biến hoặc có thể nói khá hiếm trong các bài giải PT vì nó chỉ ứng dụng cho các bài có nghiệm đẹp và dễ đoán nhận. Ví dụ một PT mà có nghiệm là $\sqrt 2+1$ hoặc có đến $2,3$ nghiệm thì rõ ràng cách nhẩm nghiệm không còn tính hiệu quả nữa. Bạn nên coi bài toán này như một sự bổ sung thêm về kinh nghiệm, theo ý kiến của riêng mình nếu không dùng các phần mềm kiểm tra nghiệm thì chắc chắn không thể nhẩm được nghiệm như kiểu này trong trường hợp bất kỳ.

Em xem ở đây nhé
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113605/toa-do-diem