Do $x \in [-1,1]$ nên ta có thể đặt $x=\cos a, a \in [0, \pi].$
Ta có
$8x^4-8x^2+1=8\cos^4 a-8\cos^2a+1=8\cos^2 a(\cos^2a-1)+1=-8\cos^2 a\sin^2 a+1=1-2\sin^22a=\cos4a.$
Vậy $\left| {8x^4-8x^2+1} \right|=\left| {\cos4a} \right| \le 1$, đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Gọi ba nghiệm thực phân biệt của PT này là $x_1,x_2,x_3$. Theo định lý Vi-et ta có
$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-1 \\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a \\x_1x_2x_3=-b\end{cases}$
Ta đã biết bất đẳng thức sau
$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx, \qquad \forall x,y,z.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z.$
Suy ra
$x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2 > x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=b$ vì các số $x_1,x_2,x_3$ đôi một khác nhau.
Mặt khác
$a^2=(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)^2=x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2+2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)>b+2b=3b.$
Vậy $a^2-3b>0,$đpcm.

ĐK: $\sin x\ne 0,\sin x \ne 1$
PT
$\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{1-\sin x}-\dfrac{\cos x}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin x}-\sin x=0$
$\Leftrightarrow \cos x\dfrac{2\sin x-1}{(1-\sin x)\sin x}+\dfrac{1-\sin^2x}{\sin x}=0$
$\Leftrightarrow \cos x\dfrac{2\sin x-1}{(1-\sin x)\sin x}+\dfrac{\cos^2x}{\sin x}=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \dfrac{2\sin x-1}{(1-\sin x)\sin x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=0\\\cos x=0\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2\sin x-1+\cos x-\sin x\cos x=0\\\cos x=0\end{matrix}} \right.$
Việc còn lại giải PT $2\sin x-1+\cos x-\sin x\cos x=0$ chỉ có cách đặt $t=\tan \frac{x}{2}$ mà nghiệm thì không đẹp.

Gọi $M(m,\frac{m}{1-m})$ thì PT đường thẳng tiếp tuyến qua $M$ với đồ thị có dạng
$(t):y=f'(m)(x-m)+\frac{m}{1-m}=\frac{1}{(m-1)^2}(x-m)+\frac{m}{1-m}$
Ta có
$(t) \cap Oy=\{B(0,b)\} \Rightarrow b=\frac{1}{(m-1)^2}(-m)+\frac{m}{1-m}=\frac{-m^2}{(m-1)^2}\Rightarrow B\left ( 0,\frac{-m^2}{(m-1)^2} \right )$
$(t) \cap Ox=\{A(a,0)\} \Rightarrow 0=\frac{1}{(m-1)^2}(a-m)+\frac{m}{1-m}\Rightarrow A\left (m^2,0\right )$.
Ta cần tìm $m$ sao cho $M$ là trung điểm $AB$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2+0=2m \\ \frac{-m^2}{(m-1)^2}+0=2\frac{m}{1-m} \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m=0\\ m=2 \end{matrix}} \right.$

Đặt   $\frac{S_{MAB}}{c^{2}}=\frac{S_{MAC}}{b^{2}}=\frac{S_{MBC}}{a^{2}}=k, k \ne 0.$
$\Rightarrow \begin{cases}S_{MAB}=kc^2 \\ S_{MAC}=kb^2\\ S_{MBC}=ka^2 \end{cases}$.
Mặt khác ta chứng minh được
$S_{MAB}.\overrightarrow{MA}+ S_{MAC}.\overrightarrow{MB}+c^{2}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
Đẳng thức này em có thể tìm được lời giải trong khá nhiều cuốn sách nâng cao.

Từ đây dễ có đpcm.

2. Em xem ở đây nhé
Cách 1: Sử dụng định lý dưới đây
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/103581/bai-103580

Cách 2: http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/102768/bai-102767

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết