b. Kẻ $SK \perp BC ,K \in BC, IH \perp (SBC),H \perp (SBC)$ thì dễ chứng minh $S,H,K$ thẳng hàng và khi đó $IH=\frac{a}{8}$. Gọi $SO=2x$, chú ý rằng $OK=\frac{a}{2}$ thì từ
$\triangle SIH \sim \triangle SKO\Rightarrow \frac{SI^2}{SK^2}=\frac{IH^2}{OK^2}\Rightarrow \frac{x^2}{4x^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{\frac{a^2}{64}}{\frac{a^2}{4}}\Rightarrow x=\frac{a}{4\sqrt 3}\Rightarrow SO=\frac{a}{2\sqrt 3}$.
Từ đây dễ làm tiếp.

a. Kẻ $SH \perp (ABCD)$ thì $H$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Như vậy tâm đường tròn ngoại tiếp của $\triangle SAC$ chính là tâm mặt cầu cần tìm. Để xác định vị trí ta lấy giao điểm của $SH$ và đường trung trực của $SC$ và gọi tâm đó là $O$. Khi đó $R=SO=\frac{1}{2}SC : \cos \frac{\widehat{ASC}}{2}=\frac{1}{2}a : \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2\cos \frac{\alpha}{2}}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Em xem ở đây nhé
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114195/he-pt-logarit

a. Điều kiện $2008 \le x \le 2009.$
+ Tìm min :
Từ điều kiện ta suy ra
$\begin{cases}0 \le 2009 - x \le 1 \\ 0 \le x - 2008 \le 1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}0 \le 2009 - x \le \sqrt{2009 - x} \\ 0 \le x - 2008 \le \sqrt{x - 2008} \end{cases}$
Do đó
$y= \sqrt{x - 2008} + \sqrt{2009 - x} \ge 2009 - x+x - 2008=1$
Vậy $\min y=1\Leftrightarrow x=2008.$

+ Tìm max :
Áp dụng BDT Bunhia ta có
$y^2=\left (  \sqrt{x - 2008} + \sqrt{2009 - x} \right )^2 \le (1+1)(2009 - x+x - 2008)=2\Rightarrow y \le \sqrt 2.$
Vậy $\min y=\sqrt 2\Leftrightarrow x=\frac{4017}{2}.$

Ta có

$L=\lim_{x \to 1}\frac{x^x-1}{x\ln x}=\lim_{x \to 1}\frac{e^{x\ln x}-1}{x\ln x}$.

Đặt $t=x \ln x$ thì khi $x \to 1$ thì $t \to 0.$ Do đó

$L=\lim_{t \to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1$.

2, $\int\limits\sqrt{5x-1} dx=\frac{1}{5}\int\limits(5x-1)^{1/2}d(5x-1)=\frac{1}{5}\frac{(5x-1)^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{15}\sqrt{(5x-1)^3}+C.$