PT tương giao
$-2x^3+6x^2+1=mx+1\Leftrightarrow x(2x^2-6x+m)=0$.
$B$ là trung điểm $A,C\Leftrightarrow \begin{cases}x_A+x_C=2x_B \\ y_A+y_C=2y_B \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=2x_B \\ 1+y_C=2y_B \end{cases}.$
Mặt khác $x_B,x_C$ là nghiệm của PT $2x^2-6x+m=0\Rightarrow \begin{cases}x_B+x_C=3 \\ x_Bx_C=\frac{m}{2} \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}3x_B=3 \\ 2x_B^2=\frac{m}{2} \end{cases}\Rightarrow m=4.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đặt $x=b+c,y=a+c,z=a+b\Rightarrow \begin{cases}2a=y+z-x \\ 2b=x+z-y \\2c=y+x-z\end{cases}$
$2A=\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}=25\left ( \frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1 \right )+16\left ( \frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1 \right )+\left ( \frac{y}{z}+\frac{x}{z}-1 \right )$.
$2A=25\frac{y}{x}+16 \frac{x}{y}+25\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+16\frac{z}{y}+ \frac{y}{z}-42$
$2A \ge 2\sqrt{25\frac{y}{x}.16 \frac{x}{y}}+2\sqrt{25\frac{z}{x}.\frac{x}{z}}+2\sqrt{16\frac{z}{y}. \frac{y}{z}}-42$
$2A \ge 40+10+8-42=16\Rightarrow A \ge 8.$
Đẳng thức không thể xảy ra vì
$\begin{cases}5y=4x \\ 5z=x\\4z=y \end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=0.$

PT tuơng giao
$x^3-5x^2+\left(m+4\right)x-m=0\Leftrightarrow (x-1)(x^2-4x+m)=0$
Như vậy hoành độ của $B,C$ là hai nghiệm của PT $x^2-4x+m=0$ nên
$\begin{cases}x_B^2-4x_B+m=0 \\ x_C^2-4x_C+m=0 \end{cases}$
và cũng theo định lý Vi-ét thì
$\begin{cases}x_B+x_C=4 \\ x_Bx_C=m \end{cases}$
Mặt khác
$k_B=f'(x_B)=3x_B^2-10x_B+m+4=3\left ( x_B^2-4x_B+m \right )+2x_B-2m+4=2x_B-2m+4$
$k_C=f'(x_C)=3x_C^2-10x_C+m+4=3\left ( x_C^2-4x_C+m \right )+2x_C-2m+4=2x_C-2m+4$
Do đó
$16=k_B^2+k_C^2=4\left ( x_B-m+2 \right )^2+4\left ( x_C-m+2 \right )^2$
$\Leftrightarrow 4=x_B^2+x_C^2-2(m-2)(x_B+x_C)+2(m-2)^2$
$\Leftrightarrow 4=(x_B+x_C)^2-2x_Bx_C-2(m-2)(x_B+x_C)+2(m-2)^2$
$\Leftrightarrow 4=16-2m-8(m-2)+2(m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=3$ hoặc $m=6.$

3. Ta sẽ chứng minh $P \ge 15/2.$

Áp dụng BDT dạng $\frac{1}{X+Y} \le \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{X} +\frac{1}{Y} \right )$ ta được
$\dfrac{x}{2x+y+z} \le \frac{1}{4}\left ( \frac{x}{x+y} +\frac{x}{x+z} \right )$
$\dfrac{y}{x+2y+z} \le \frac{1}{4}\left ( \frac{y}{x+y} +\frac{y}{y+z} \right )$
$\dfrac{z}{x+y+2z} \le \frac{1}{4}\left ( \frac{z}{x+z} +\frac{z}{y+z} \right )$
cộng theo từng vế 3 BDT ta có đpcm.

Em xem ở đây nhé
  http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113896/bat-dang-thuc

Em xem ở đây nhé 
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115137/su-dung-am-gm-trong-chung-minh-bdt