$y'=-\frac{4}{(x-1)^2}<0 \quad \forall x \ne 1$.
Như vậy để tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân thì $k=\pm 1$.
$\Leftrightarrow -\frac{4}{(x-1)^2}=-1\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=-1.$
PTTT cần tìm là
$(t_1) : y=-1(x-3)+y(3)=-x+3+4=-x+7$.
$(t_2) : y=-1(x+1)+y(-1)=-x-1+0=-x-1$.

b. Câu b sai đề bài vì $SC>SA?!$

a, Dễ thấy $5$ điểm $A,B,C,D,C_1$ nằm trên mặt cầu tâm $O$ bán kính $\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}$.
Ta sẽ chứng minh $B_1,D_1$ cũng thuộc mặt cầu này.
Ta có $DA \perp (SAB)\Rightarrow DB_1\perp SB$ vì theo định lý ba đường vuông góc thì $AB_1 \perp SB.$
Như vậy $\widehat{DB_1B}=90^\circ\Rightarrow B_1$ thuộc mặt cầu này.
Chứng minh tuơng tự $\widehat{BD_1D}=90^\circ\Rightarrow D_1$ cũng thuộc mặt cầu này.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta dễ tính được $AC=CD=a\sqrt 2,SD=a\sqrt 5,SC=a\sqrt 3$
Suy ra $\widehat{SCD}=90^\circ$ theo định lý đảo của ĐL Py-ta-go.
Từ đây suy ra $S,A,C,D$ nằm trên mặt cầu đường kính $SD$, do đó bán kính của nó bằng $R=\frac{a\sqrt 5}{2}$.
Vậy,
Diện tích $=4\pi R^2=5\pi a^2$.
Thể tích $=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{5\sqrt 5}{6}\pi a^3$.

b. Từ câu a suy ra  $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3} \overrightarrow{BN}\Rightarrow B,M,N$ thẳng hàng.

a.
$\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0\Rightarrow 4\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BC}=\overrightarrow0\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow0\Rightarrow 6\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BC}=\overrightarrow0\Rightarrow \overrightarrow{BN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

b1. Gọi $I$ là trung điểm $AS$. Dễ có $IA=IS=IK=IH$ nên bốn điểm $A,S,K,H$ nằm trên mặt cầu tâm $I$.

a) Giả sử cần dựng $O$ là tâm mặt cầu đi qua ba điểm $A,B,C$. Kẻ $OH \perp (ABC)$ thì theo tính chất đường xiên và hình chiếu
$OA=OB=OC\Rightarrow HA=HB=HC\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$.
Như vậy $O$ nằm trên đường thằng $d$ đi qua $H$ và vuông góc với mp$(ABC)$.
Mặt khác dễ thấy $SB \not\perp d$ vì nếu không $d \perp (SAB)\Rightarrow (SAB) \equiv (ABC)$, vô lý.
Do đó mặt phẳng trung trực (vuông góc và đi qua trung điểm ) của $SB$ luôn cắt $d$ tại một điểm. Và đây chính là điểm $O$ cần dựng.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

3
a.
$\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{EB} \Rightarrow \overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{a}$.
$3\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0\Rightarrow 3\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0\Rightarrow \overrightarrow{AF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}.$

b. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )$
$\Rightarrow \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )-2\overrightarrow{a}=-\frac{5}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}=\frac{5}{6}\overrightarrow{EF}$.
Điều này chứng tỏ $E,F,G$ thẳng hàng.

b. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )$
$\Rightarrow \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )-2\overrightarrow{a}=-\frac{5}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}=\frac{5}{6}\overrightarrow{EF}$.
Điều này chứng tỏ $E,F,G$ thẳng hàng.