3. $(2x+y^2)^{15}=\sum_{k=0}^{15}C_n^k(2x)^k(y^2)^{15-k}=\sum_{k=0}^{15}C_n^k2^kx^{k}y^{30-2k}=\sum_{k=0}^{15}C_n^k2^kx^{3k-30}(xy)^{30-2k} $
Hệ số của $x$ và $xy$ bằng nhau khi $3k-30=30-2k\Leftrightarrow k=12$.
Do đó đáp số cần tìm là $C_{15}^{12}2^{12}.$

2. $(1+2x)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k(2x)^k=\sum_{k=0}^{n} C_n^k2^kx^k$.
Theo giả thiết ta có $\sum_{k=0}^{n} C_n^k2^k=6561$.
Mặt khác ta cũng có $(1+2)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k2^k\Rightarrow \sum_{k=0}^{n} C_n^k2^k=3^n$.
Như vậy $3^n=6561\Rightarrow n=8.$
Hệ số của $x^4$ trong khai triển $(1+2x)^n$ chính là $C_8^42^4$.

b. $f(x)$ nghịch biến trên $(-1,1)$
$\Leftrightarrow f'(x) \le 0 \quad \forall x \in (-1,1)\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1 \le 0 \quad \forall x \in (-1,1)\Leftrightarrow g(x)=3x^2+6x+1 \le -m \quad \forall x \in (-1,1).$
Ta có $g'(x)=6x+6>0\quad \forall x \in (-1,1)$ nên ta cần có
$-m \ge \max_{(-1,1)}g(x)=g(1)=10\Leftrightarrow m \le -10.$

a. Trong trường hợp này $f(x)$ luôn đồng biến
$\Leftrightarrow f'(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb R\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1 \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb R\Leftrightarrow \Delta' \le 0\Leftrightarrow 9-3(m+1) \le 0\Leftrightarrow m \ge 2.$

Bài toán này quy về bài toán tìm diện tích lớn nhất của tứ giác $ABCD$ khi biết $AB=1,BC=4,CD=7,DA=8$.
Mấu chốt của bài toán này là nhận ra
$AB^2+AD^2=BC^2+CD^2$ vì $1^2+8^2=4^2+7^2=65.$
Ta có
$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}AB.AD\sin A+\frac{1}{2}CB.CD\sin C \le \frac{1}{2}AB.AD+\frac{1}{2}CB.CD=18.$
Vậy $\max S_{ABCD}=18\Leftrightarrow \sin A=\sin C=1\Leftrightarrow A=C=90^\circ.$
Từ đây suy ra cách dựng tứ giác này.

Em xem ở đây nhé
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/118642/giup-e-bai-min-nay-vs-moi-nguoi-oi-tks

Giả sử $c,d \in \mathbb N$ sao cho
$\begin{cases}\frac{a}{b}:\frac{18}{35}=c \\ \frac{a}{b}:\frac{8}{15}=d \end{cases}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{35c}{18}=\frac{15d}{8}$.
Do $\frac{a}{b}$ phải tìm là nhỏ nhất nên $c,d$ cũng là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có $\frac{35c}{18}=\frac{15d}{8}\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{15}{8}\times\frac{18}{35}=\frac{27}{28}$.
Do $c,d$ nhỏ nhất nên $c=27,d=28$. Suy ra
$\frac{a}{b}=\frac{35c}{18}=\frac{35\times 27}{18}=\frac{105}{2}\Rightarrow a+b=107.$

$A=(2.4.6...1992)-(1.3.5.7...1991)=(2.1).(2.2).(2.3)\ldots(2.996)-\frac{1.2.3.4.5...1991.1992}{2.4.6...1990.1992}$
$=2^{996}.996!-\frac{1992!}{2^{996}.996!}=\frac{2^{1992}.(996!)^2-1992!}{2^{996}.996!}$
Chú ý rằng $p=1993$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ nên theo định lý Wilson và Fermat nhỏ ta có các kết quả sau
$\begin{cases}(p-1)! \equiv -1 \bmod p \\ \left ( \frac{p-1}{2}! \right )^2\equiv -1 \bmod p \\ 2^{p-1} \equiv 1 \bmod p \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}1992! \equiv -1 \bmod 1993 \\ (996!)^2\equiv -1 \bmod 1993 \\ 2^{1992} \equiv 1 \bmod 1993 \\ \end{cases}$
Do đó tử số của $A \equiv 1.(-1)-(-1)\equiv 0\bmod 1993$.
Mặt khác dễ thấy mẫu số của $A$ không chia hết cho $1993$.
Vậy $1993|A$.