3. $f(-x)= (-x)^2 - 2\left| {-x} \right| -3=x^2 - 2\left| {x} \right| -3=f(x)\Rightarrow $ là hàm chẵn.

2. $f(-x)= -x( \left| {-x} \right| -2)= -x( \left| {x} \right| -2)=-f(x)\Rightarrow f(x)$ là hàm lẻ.

1. $f(-x)=  \frac{-x}{\left| {-x} \right|-1}=-\frac{x}{\left| {x} \right|-1}=-f(x)\Rightarrow  f(x)$ là hàm lẻ.

5. $\sqrt{31-5x}>3\Leftrightarrow 31-5x>9\Leftrightarrow 22>5x\Leftrightarrow x<\frac{22}{5}$.
Vậy $x=4$ là nghiệm nguyên lớn nhất phải tìm.

Kẻ $SH \perp (ABC), H \in (ABC)$.
Dễ suy ra $H$ chính là tâm của tam giác đều $ABC$ nên $AH=\frac{a\sqrt 3}{3}$.
Do đó $SA=SB=SC=AH : \cos 60=\frac{2a\sqrt 3}{3}$.
Hai hình chóp $S.ABC$ và $D.SBC$ có chung đáy $SBC$ nên tỉ lệ thể tích bằng tỉ lệ chiều cao. Và cũng theo định lý Ta-let trong không gian suy ra
$\frac{V_{S.ABC}}{V_{D.SBC}}=\frac{SA}{SD}$.
Trong tam giác cân $SAB$ có $BD \perp SA$ thì
$BS^2-SD^2=BA^2-DA^2    (=BD^2)$
$\Rightarrow \frac{4a^2}{3}-SD^2=a^2-\left ( \frac{2a\sqrt 3}{3}-SD \right )^2$
$\Rightarrow SD=\frac{5a}{4\sqrt 3}$.
Vậy $\frac{V_{S.ABC}}{V_{D.SBC}}=\frac{8}{5}$.